极大环面

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:57:04 #李群,代数群,李群表示论

在数学的紧李群及约化代数群理论中,极大子环是其中一类特别的子群,在这些群的分类及表示理论中扮演要角。

李群 G {\displaystyle G} 中的子环(面)是一个连通紧阿贝尔李子群,这类子群必然同构于环面 T n {\displaystyle T^{n}} 。极大环面是其中维度最大者。非紧子群未必有极大环面(例如 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} )。

对于紧李群,极大子环对应到李代数中的极大阿贝尔子代数。任意子环皆包含于某个极大子环,任两个极大子环彼此共轭。极大子环的维度称为该群的秩。

G {\displaystyle G} S {\displaystyle S} 上的群概形,若存在平展拓扑中的覆盖 S S {\displaystyle S'\to S} ,使得 G S := G × S S {\displaystyle G_{S'}:=G\times _{S}S'} 同构于 G m , S := G m × S {\displaystyle \mathbb {G} _{m,S'}:=\mathbb {G} _{m}\times S'} ,其中 G m := S p e c Z {\displaystyle \mathbb {G} _{m}:=\mathrm {Spec} \mathbb {Z} } 配上自然的群结构,则称 G {\displaystyle G} 是环面。若 G G m , S {\displaystyle G\simeq \mathbb {G} _{m,S}} ,称 G {\displaystyle G} 为可对角化或子环(面)。

今设 G S {\displaystyle G\to S} 为平滑仿射态射。较常见的情形是 S = S p e c K {\displaystyle S=\mathrm {Spec} K} ,其中 K {\displaystyle K} 是域。此时极大子环的定义同于李群。对于一般的基 S {\displaystyle S} ,子群概形 T G {\displaystyle T\subset G} 是极大子环意谓著:对每个几何点 s ¯ S {\displaystyle {\bar {s}}\to S} ,其几何纤维 T s ¯ G s ¯ {\displaystyle T_{\bar {s}}\to G_{\bar {s}}} 是前述意义下的极大子环。在平展拓扑下,极大子环“局部上”两两共轭。

对于可简约 S {\displaystyle S} -代数群 G {\displaystyle G} ,极大子环对 S {\displaystyle S} 局部上存在。透过极大子环,可以定义根资料,继而开展约化群的分类理论。

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