极大环面

在数学的紧李群及约化代数群理论中，极大子环是其中一类特别的子群，在这些群的分类及表示理论中扮演要角。

李群${\displaystyle G}$中的子环（面）是一个连通紧阿贝尔李子群，这类子群必然同构于环面${\displaystyle T^n}$。极大环面是其中维度最大者。非紧子群未必有极大环面（例如${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$）。

对于紧李群，极大子环对应到李代数中的极大阿贝尔子代数。任意子环皆包含于某个极大子环，任两个极大子环彼此共轭。极大子环的维度称为该群的秩。

设${\displaystyle G}$为${\displaystyle S}$上的群概形，若存在平展拓扑中的覆盖${\displaystyle S^{\prime }\to <!--\; \to \; -->S}$，使得${\displaystyle G_{S^{\prime }}:=G{\times <!--\; \times \; -->}_S{S}^{\prime }}$同构于${\displaystyle {\mathbb{G}}_{m,S^{\prime }}:={\mathbb{G}}_m\times <!--\; \times \; -->S^{\prime }}$，其中${\displaystyle {\mathbb{G}}_m:=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathbb{Z}}$配上自然的群结构，则称${\displaystyle G}$是环面。若${\displaystyle G\simeq <!--\; \simeq \; -->{\mathbb{G}}_{m,S}}$，称${\displaystyle G}$为可对角化或子环（面）。

今设${\displaystyle G\to <!--\; \to \; -->S}$为平滑仿射态射。较常见的情形是${\displaystyle S=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K}$，其中${\displaystyle K}$是域。此时极大子环的定义同于李群。对于一般的基${\displaystyle S}$，子群概形${\displaystyle T\subset <!--\; \subset \; -->G}$是极大子环意谓著：对每个几何点${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{s}\to <!--\; \to \; -->S}$，其几何纤维${\displaystyle T_{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{s}}\to <!--\; \to \; -->G_{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{s}}}$是前述意义下的极大子环。在平展拓扑下，极大子环“局部上”两两共轭。

对于可简约${\displaystyle S}$-代数群${\displaystyle G}$，极大子环对${\displaystyle S}$局部上存在。透过极大子环，可以定义根资料，继而开展约化群的分类理论。