柯西-利普希茨定理

在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一阶常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奥古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·林德勒夫。

设E为一个完备的有限维赋范向量空间（即一个巴拿赫空间），f为一个取值在E上的函数：

其中U为E中的一个开集，I是${\displaystyle \mathbb{R}}$中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

如果f关于t连续，并在U中满足利普希茨条件，也就是说，

那么对于任一给定的初始条件： ${\displaystyle x(t_0)=x_0}$，其中 ${\displaystyle t_0\in <!--\; \in \; -->I}$、${\displaystyle x_0\in <!--\; \in \; -->U}$，微分方程（1）存在一个解 ${\displaystyle (J,x(t))}$，其中 ${\displaystyle J\subset <!--\; \subset \; -->I}$ 是一个包含 ${\displaystyle t_0}$ 的区间，${\displaystyle x(t)}$ 是一个从 ${\displaystyle J}$ 射到 ${\displaystyle U}$ 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点${\displaystyle t_0}$的足够小的${\displaystyle J}$区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（${\displaystyle x(t_0)=x_0}$）时，下一刻的情况是唯一确定的。

一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列${\displaystyle y_{n+1}=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(y_n)}$，使得${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(y_n)=f(y_n,t)}$，这样，如果这个序列有一个收敛点 ${\displaystyle y}$ ，那么${\displaystyle y}$为函数${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$的不动点，这时就有${\displaystyle y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}={\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(y)=f(y,t)}$，于是我们构造出了一个解${\displaystyle y}$。为此，我们从常数函数

这样构造出来的函数列${\displaystyle (y_i{)}_{i\ge <!--\; \ge \; -->0}}$中的每个函数都满足初始条件。并且由于 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle U}$ 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解${\displaystyle (J,x(t))}$、${\displaystyle (J^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}},x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(t))}$，定义一个序关系：${\displaystyle (J,x(t))}$小于${\displaystyle (J^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}},x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(t))}$当且仅当 ${\displaystyle J\subset <!--\; \subset \; -->J^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$，并且${\displaystyle x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(t)}$在${\displaystyle J}$上的值与${\displaystyle x(t)}$一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。

对于一元的高阶常微分方程

只需构造向量${\displaystyle Y(t)=(y(t),y^{\prime }(t),\dots <!--\; \dots \; -->,y^{(n-<!--\; -\; -->1)}(t))}$和相应的映射${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$，就可以使得（2）变为${\displaystyle Y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(t)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(Y(t),t)}$。这时的初始条件为${\displaystyle Y(t_0)=Y_0}$，即

对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。