阶幂

在数学中，正整数的阶幂（英语：expofactorial 或 exponential factorial）是所有小于及等于该数的正整数的幂，记作 $ ，例如：

阶幂是阶加和阶乘在幂运算上的类比。

前几项的阶幂数为

1 , 2 , 9 , 262144 , ... （OEIS中的数列A049384）

阶幂的增长率比阶乘，甚至过级阶乘还要快。到了5的阶幂，已经是 ${\displaystyle 5\mathrm{\$<!--\; \$\; -->}=5^{262144}\approx <!--\; \approx \; -->6.206069878660874\times <!--\; \times \; -->{10}^{183230}}$，

从上述公式中，可以推导出递推关系：

递推关系在阶幂函数中任意正整数 皆成立，例如：

阶幂原始的定义只在正整数上。不同于阶乘，阶幂的定义域从正整数推广到实数和复数的过程中，遇到了困难。

与迭代幂次相似，由于幂塔高度为 0 的数值并没有一个广为接受的良好定义， ${\displaystyle 0\mathrm{\$<!--\; \$\; -->}}$ 定义双阶幂（double expofactorial）。

当 ${\displaystyle n}$ 的 重阶幂，定义为

例如， ${\displaystyle 7{\mathrm{\$<!--\; \$\; -->}}_{(3)}=7^{4^1}=2401}$ 个阶幂的叠幂，记作${\displaystyle \mathrm{se}<!--\; \; -->(n)}$ 个阶幂的和为

首 个阶幂的积为

以上两个数值的增长率，要比阶幂本身还要快。

首 个阶幂倒数的和为

当 趋向无穷大，其值收敛于 ${\displaystyle \mathrm{1.6111149258083767361111...}}$。（OEIS中的数列A080219）