均差

均差（Divided differences）是递归除法过程。在数值分析中，可用于计算牛顿多项式形式的多项式插值的系数。在微积分中，均差与导数一起合称差商，是对函数在一个区间内的平均变化率的测量。

均差也是一种算法，查尔斯·巴贝奇的差分机，是他在1822年发表的论文中提出的一种早期的机械计算机，在历史上意图用来计算对数表和三角函数表， 它设计在其运算中使用这个算法。

给定n+1个数据点

定义前向均差为：

定义后向均差为：

假定数据点给出为函数 ƒ，

其均差可以写为：

对函数 ƒ 在节点 ₀, ...,  上的均差还有其他表示法，如：

给定ν=0：

为了使涉及的递归过程更加清楚，以列表形式展示均差的计算过程：

用数学归纳法可证明：

此公式体现了均差的对称性质。故可推知：任意调换数据点次序，其值不变。

通过对换 n 阶均差中(x₀,y₀)与(x_n-1,y_n-1)，可得到等价定义：

这个定义有着不同的计算次序：

以列表形式展示这个定义下均差的计算过程：

牛顿插值公式，得名于伊萨克·牛顿爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续泰勒展开的离散对应。

使用均差的牛顿插值法为：

可以在计算过程中任意增添节点如点(x_n+1,y_n+1)，只需计算新增的n+1阶均差及其插值基函数，而无拉格朗日插值法需重算全部插值基函数之虞。

对均差采用展开形式：

以2阶均差牛顿插值为例：

当数据点呈等距分布的时候，这个特殊情况叫做“前向差分”。它们比计算一般的均差要容易。

给定n+1个数据点

有着

定义前向差分为：

前向差分所对应的均差为：

差分的展开形式是均差展开形式的特殊情况：

这里的表达式

是二项式系数，其中的(n)_k是“下降阶乘幂”，空积(n)₀被定义为1。

其对应的牛顿插值公式为：

牛顿在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了ln(1+x)的无穷级数，在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的无穷级数，在1669年的《分析学》中发表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的无穷级数；莱布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的无穷级数。布鲁克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研讨了“有限差分”方法，其中论述了他在1712年得出的泰勒定理，这个成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和莱布尼茨在1673年已经得出，而约翰·伯努利在1694年已经在《教师学报》发表。

他对牛顿的均差的步长取趋于0的极限，得出：

使用普通函数记号表示幂运算，${\displaystyle p_n(x)=x^n}$，有：

此中n+1元m次齐次多项式的记法同于多项式定理。

泰勒级数和任何其他的函数级数，在原理上都可以用来逼近均差。将泰勒级数表示为:

均差的泰勒级数为：

前${\displaystyle n}$项消失了，因为均差的阶高于多项式的阶。可以得出均差的泰勒级数本质上开始于：

依据均差中值定理（英语：Mean value theorem (divided differences)），这也是均差的最简单逼近。

均差还可以表达为

这里的B_n-1是数据点x₀,...,x_n的n-1次B样条，而f(n)是函数f的n阶导数。这叫做均差的皮亚诺形式，而B_n-1是均差的皮亚诺核。