约瑟夫问题

✍ dations ◷ 2025-05-19 16:26:57 #组合数学,置换,计算机科学基础理论,数学问题

约瑟夫问题（有时也称为约瑟夫斯置换），是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。

人们站在一个等待被处决的圈子里。计数从圆圈中的指定点开始，并沿指定方向围绕圆圈进行。在跳过指定数量的人之后，处刑下一个人。对剩下的人重复该过程，从下一个人开始，朝同一方向跳过相同数量的人，直到只剩下一个人，并被释放。

问题即，给定人数、起点、方向和要跳过的数字，选择初始圆圈中的位置以避免被处决。

这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个。

比较简单的做法是用循环单链表模拟整个过程，时间复杂度是O(n*m)。如果只是想求得最后剩下的人，则可以用数学推导的方式得出公式。且先看看模拟过程的解法。

# -*- coding: utf-8 -*- class Node(object):	def __init__(self, value):		self.value = value 		self.next = Nonedef create_linkList(n):	head = Node(1)	pre = head	for i in range(2, n+1):		newNode = Node(i)		pre.next= newNode		pre = newNode	pre.next = head	return headn = 5 #总的个数m = 2 #数的数目if m == 1: #如果是1的话，特殊处理，直接输出	print (n)  else:	head = create_linkList(n)	pre = None	cur = head	while cur.next != cur: #终止条件是节点的下一个节点指向本身		for i in range(m-1):			pre =  cur			cur = cur.next		print (cur.value)		pre.next = cur.next		cur.next = None		cur = pre.next	print (cur.value)

C++版本

#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstdio>using namespace std;typedef struct _LinkNode {	int value;	struct _LinkNode* next;} LinkNode, *LinkNodePtr;LinkNodePtr createCycle(int total) {	int index = 1;	LinkNodePtr head = NULL, curr = NULL, prev = NULL;	head = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode));	head->value = index;	prev = head;	while (--total > 0) {		curr = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode));		curr->value = ++index;		prev->next = curr;		prev = curr;	}	curr->next = head;	return head;}void run(int total, int tag) {	LinkNodePtr node = createCycle(total);	LinkNodePtr prev = NULL;	int start = 1;	int index = start;	while (node && node->next) {		if (index == tag) {			printf("%d\n", node->value);			if (tag == start) {				prev = node->next;				node->next = NULL;				node = prev;			} else {				prev->next = node->next;				node->next = NULL;				node = prev->next;			}			index = start;		} else {			prev = node;			node = node->next;			index++;		}	}}int main() {        if (argc < 3) return -1;	run(atoi(argv), atoi(argv));	return 0;}

数学推导解法

我们将明确解出 $k=2$ 是2的幂时，便重新从 $f(n)=1$ 、、……、 $\lfloor n/k\rfloor$ $\lfloor n/k\rfloor$ 个人视为一个步骤，然后把号码改变，可得如下递推公式, 运行时间为 $O(k\log n)$ $O(k\log n)$ 。

程序实现（C++）

约瑟夫问题

C++版本

数学推导解法

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