泰勒级数

在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

拉格朗日在1797年之前，最先提出带有余项的现在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间（或复平面上的开区间）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。

在数学上，对于一个在实数或复数${\displaystyle a}$值间隔为单位步长1或一致但非单位量的情况，计算差分，前向差分的定义为：

牛顿前向差分插值公式为：

这成立于任何多项式函数和大多数但非全部解析函数。

牛顿在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了${\displaystyle \ln <!--\; \; -->(1+x)}$的无穷级数，在1666年得出了${\displaystyle \arcsin <!--\; \; -->(x)}$和${\displaystyle \arctan <!--\; \; -->(x)}$的无穷级数，在1669年的《分析学》中发表了${\displaystyle \sin <!--\; \; -->(x)}$、${\displaystyle \cos <!--\; \; -->(x)}$、${\displaystyle \arcsin <!--\; \; -->(x)}$和${\displaystyle e^x}$的无穷级数；莱布尼茨在1673年大概也得出了${\displaystyle \sin <!--\; \; -->(x)}$、${\displaystyle \cos <!--\; \; -->(x)}$和${\displaystyle \arctan <!--\; \; -->(x)}$的无穷级数。布鲁克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa 页面存档备份，存于互联网档案馆》中研讨了有限差分方法，其中论述了他在1712年得出的泰勒定理，这个成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和莱布尼茨在1673年已经得出，而约翰·伯努利在1694年已经在《教师学报》发表。

他对牛顿的均差分的步长取趋于${\displaystyle 0}$的极限，得出：