纤维丛

纤维束（fiber bundle 或 fibre bundle）又称纤维丛，在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛对应一个连续满射

${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:E\to <!--\; \to \; -->B}$ 和乘积空间 × 　的局部类似性可以用映射 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$　的局部空间 ${\displaystyle U}$（　称作纤维空间），使得 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$ × 　的投影　${\displaystyle P:B\times <!--\; \times \; -->F\mapsto <!--\; \mapsto \; -->B,P(b,f)=b}$ → 　来表示一个纤维丛，而忽略 ）

如果　${\displaystyle E=B\times <!--\; \times \; -->F}$（trivial bundle）。

纤维丛扩展了向量丛(vector bundle)，向量丛的主要实例就是流形的切丛（tangent bundle）。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。

一个纤维丛由四元组（, , π, ）组成，其中, , 　是拓扑空间而π : → 　是一个连续满射，满足下面给出的局部平凡（local triviality）条件。 称为丛的基空间（base space）， 称为总空间（total space）,而 称为纤维（fiber）。映射π 称为投影映射.下面我们假定基空间 是连通的。

我们要求对于 中的每个点 ,存在一个在 中 包含 的开邻域，并有一个同胚映射 φ:π−1（）→ × (显然　 × 　是一个乘积空间) ，φ 并且要满足 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(y)={\mathrm{proj}}_1\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(U)}$ × → 是自然投影而 φ : π−1() → × 是一个同胚（这里的局部平凡条件有些书会定义为 ${\displaystyle x=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(x,f),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->U,f\in <!--\; \in \; -->F}$, φ)} 的集合称为丛的局部平凡化。

对于 中每点 ，原象（preimage）π−1() 和 同胚并称为点 上的纤维.一个纤维丛（, , π, ）经常记为

以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纤维丛 π : → 都是一个开映射，因为积空间的投影是开映射。所以 有由映射π决定的商拓扑(quotient topology).

一个光滑纤维丛是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是，, , 都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是光滑映射。

令 = × 并令π : → 为对第一个因子的投影，则是上的丛.这里不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛.

最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带（Möbius strip）.莫比乌斯带是一个以圆为基空间并以线段为纤维的丛。对于一点${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->B}$的原象映到柱面的一块：弯曲但不扭转.

相应的平凡丛 × 看起来像一个圆柱，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。

一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环，1 × 1。

一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。

纤维丛的一个特例，叫做向量丛,是那些纤维为向量空间的丛（要成为一个向量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群）。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。

另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。

一个球丛是一个纤维为n维球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛（例如黎曼流形的切丛），可以构造一个相应的,其在一点的纤维是所有的单位向量的集合.

纤维丛的截面（section或者cross section）是一个连续映射 : → 使得π(())=对于所有中的成立。因为丛通常没有全局有定义的截面，理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的示性类理论。

截面经常只被局部的定义（特别是当全局截面不存在时）。纤维丛的局部截面是一个连续映射 : → 其中是一个中的开集而π(())=对所有中的成立。若（, φ）是一个局部平凡化图，则局部截面在上总是存在的。这种截面和连续映射 → 有1-1对应。截面的集合组成一个层（sheaf）。

纤维丛经常有一个对称群描述重叠的图之间的相容条件。特别的，令为一个拓扑群，它连续的从左边作用在纤维空间上。不失一般性的，我们可以要求有效的作用在上，以便把它看成是的同胚群。纤维丛的一个-图册（, , π, ）是之前定义过的并且满足：对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图（, φ）和（, φ）且 ${\displaystyle U_i\cap <!--\; \cap \; -->U_j\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}$-图册是等价的如果他们的并集也是-图册。一个-丛是有-图册等价类的纤维丛。群称为该丛的结构群（structure group）。

在光滑范畴中，一个-丛是一个光滑纤维丛，其中是一个李群而相应的在上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。

转移函数满足以下条件

第三个条件用到三个相交的 ${\displaystyle U_i\cap <!--\; \cap \; -->U_j\cap <!--\; \cap \; -->U_k}$-丛，其纤维可以认为是本身，并且有一个在全空间上的的右作用保持纤维不变。