角动量算符

在量子力学里，角动量算符（英语：angular momentum operator）是一种算符，类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋转对称性（rotational symmetry）的理论里，角动量算符占有中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基本特性。

角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其概率性行为，而不是命定性(deterministic)行为。

在经典力学里，角动量 ${\displaystyle \mathbf{L}=(L_x,L_y,L_z)}$ 定义为位置 ${\displaystyle \mathbf{r}=(x,y,z)}$ 与动量 ${\displaystyle \mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z)}$ 的叉积：

在量子力学里，对应的角动量算符 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{L}}}$ 定义为位置算符 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{r}}}$ 与动量算符 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{p}}}$ 的叉积：

由于动量算符的形式为

角动量算符的形式为

其中，${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}$ 是梯度算符。

在量子力学里，每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。角动量是一个可观察量，所以，角动量算符应该也是厄米算符。让我们现在证明这一点，思考角动量算符的 x-分量 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x}$ ：

其伴随算符 ${\displaystyle L_x^{†<!--\; †\; -->}}$ 为

由于 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{y}}$ 、${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{z}}$ 、${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_y}$ 、${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_z}$ ，都是厄米算符，

由于 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_z}$ 与 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{y}}$ 之间、${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_y}$ 与 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{z}}$ 之间分别相互对易，所以，

因此，${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x}$ 是一个厄米算符。类似地，${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y}$ 与 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_z}$ 都是厄米算符。总结，角动量算符是厄米算符。

再思考 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}^2}$ 算符，

其伴随算符 ${\displaystyle ({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}^2{)}^{†<!--\; †\; -->}}$ 为

由于 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x^2}$ 算符、${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y^2}$ 算符、${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_z^2}$ 算符，都是厄米算符，

所以，${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}^2}$ 算符是厄米算符。

两个算符 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}$ 与 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{B}}$ 的交换算符 ${\displaystyle }$ ，表示出它们之间的对易关系。

思考 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x}$ 与 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y}$ 的交换算符，

由于两者的对易关系不等于 0 ， ${\displaystyle L_x}$ 与 ${\displaystyle L_y}$ 彼此是不相容可观察量。${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x}$ 与 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y}$ 绝对不会有共同的基底量子态。一般而言，${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x}$ 的本征态与 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y}$ 的本征态不同。

给予一个量子系统，量子态为 ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。对于可观察量算符 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x}$ ，所有本征值为 ${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{xi}}$ 的本征态 ${\displaystyle |f_i⟩<!--\; ⟩\; -->,i=1,2,3,\cdots <!--\; \cdots \; -->}$ ，形成了一组基底量子态。量子态 ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 可以表达为这基底量子态的线性组合：${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}|f_i⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->f_i|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。对于可观察量算符 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y}$ ，所有本征值为 ${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{yi}}$ 的本征态 ${\displaystyle |g_i⟩<!--\; ⟩\; -->,i=1,2,3,\cdots <!--\; \cdots \; -->}$ ，形成了另外一组基底量子态。量子态 ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 可以表达为这基底量子态的线性组合：${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}|g_i⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->g_i|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。

根据哥本哈根诠释，量子测量可以用量子态坍缩机制来诠释。假若，我们测量可观察量 ${\displaystyle L_x}$ ，得到的测量值为其本征值 ${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{xi}}$ ，则量子态概率地坍缩为本征态 ${\displaystyle |f_i⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。假若，我们立刻再测量可观察量 ${\displaystyle L_x}$ ，得到的答案必定是 ${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{xi}}$ ，量子态仍旧处于 ${\displaystyle |f_i⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。可是，假若，我们改为测量可观察量 ${\displaystyle L_y}$ ，则量子态不会停留于本征态 ${\displaystyle |f_i⟩<!--\; ⟩\; -->}$ ，而会坍缩为 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y}$ 的本征态。假若，得到的测量值为其本征值 ${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{yj}}$ ，则量子态概率地坍缩为本征态 ${\displaystyle |g_j⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。

根据不确定性原理，

${\displaystyle L_x}$