商空间 (线性代数)

✍ dations ◷ 2025-10-06 14:11:22 #线性代数,泛函分析

在线性代数中,一个向量空间关于子空间的商是将“坍塌”为零得到的向量空间。所得的空间称为商空间(quotient space),记作/(读作:模)。

正式地,此构造如下(Halmos 1974,§21-22)。设是域上的一个向量空间,且是的一个子空间。我们定义在上定义一个等价类~,如果 − ∈ 则令 ~ 。即如果其中一个加上中一个元素得到另一个,则与相关。的所在等价类通常记作

因为它由

那么商空间/定义为/~,在~下所有等价类集合。等价类上的数乘与加法定义为

不难验证这些运算是良定义的(即与代表元之选取无关)。这些运算将商空间/转化为上一个向量空间,成为零类。相对应的,商映射即定义为 ∈ 与等价类之映射

令 = R2为标准笛卡儿平面,是中过原点的一条直线。则商空间/可与中与平行的所有直线等价。这就是讲,集合/的元素是中平行于的元素。这给出了以一种几何的方式看商空间的方法。

另一个例子是R被前个标准基向量张成的子空间的商。空间R由所有实数-元组 (1,…,)组成。子空间,与R等价,由只有前元素是非零 (1,…,,0,0,…,0)的所有-元组组成。R的两个向量在模去这个子空间的同一个共轭类中当且仅当他们的后 − 个坐标相等。商空间R/ R显然地同构于R−。

更一般地,如果写成子空间与的一个(内部)直和:

则商空间/自然同构于 (Halmos 1974,Theorem 22.1)。

如果是的一个子空间,在中的余维数定义为/的维数。如果是有限维的,这就是与的维数之差(Halmos 1974,Theorem 22.2):

从到商空间/有一个自然满射,将映到它的等价类。这个满射的核(或零空间)是子空间。此关系简单地总结为短正合序列

令 : → 是一个线性算子。的核,记作ker(),是所有 ∈ 使得 = 0的集合。核是的一个子空间。线性代数第一同构定理说商空间/ker()同构于在中的像。一个直接推论,对有限维空间的秩-零化度定理:的维数等于核的维数(的零化度)加上像的维数(的秩)。

线性算子 : → 的余核定义为商空间/im()。

如果是一个巴拿赫空间而是的一个闭子空间,则商/仍是一个巴拿赫空间。上一节已经给出商空间一个向量空间结构。我们定义/上一个范数为

商空间/关于此范数是完备的,所以是一个巴拿赫空间。

令表示区间上连续实值函数的巴拿赫空间。记所有函数 ∈ 使得(0) = 0的子空间为。则某个函数的等价类由它在0点的值决定,商空间/同构于R。

如果是一个希尔伯特空间,则商空间/同构于的正交补。

局部凸空间被一个闭子空间商还是局部凸的(Dieudonné 1970,12.14.8)。事实上,假设是局部凸的所以上的拓扑由一族半范数{α|α∈}生成,这里是一个指标集。设是一个闭子空间,定义/上半范数α

则/是一个局部凸空间,上面的拓扑是商拓扑。

进一步,若是可度量化的,则 /也是;如果是弗雷歇空间,/(Dieudonné 1970,12.11.3)也是。

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