商空间 (线性代数)

✍ dations ◷ 2025-07-07 07:01:14 #线性代数,泛函分析

在线性代数中,一个向量空间关于子空间的商是将“坍塌”为零得到的向量空间。所得的空间称为商空间(quotient space),记作/(读作:模)。

正式地,此构造如下(Halmos 1974,§21-22)。设是域上的一个向量空间,且是的一个子空间。我们定义在上定义一个等价类~,如果 − ∈ 则令 ~ 。即如果其中一个加上中一个元素得到另一个,则与相关。的所在等价类通常记作

因为它由

那么商空间/定义为/~,在~下所有等价类集合。等价类上的数乘与加法定义为

不难验证这些运算是良定义的(即与代表元之选取无关)。这些运算将商空间/转化为上一个向量空间,成为零类。相对应的,商映射即定义为 ∈ 与等价类之映射

令 = R2为标准笛卡儿平面,是中过原点的一条直线。则商空间/可与中与平行的所有直线等价。这就是讲,集合/的元素是中平行于的元素。这给出了以一种几何的方式看商空间的方法。

另一个例子是R被前个标准基向量张成的子空间的商。空间R由所有实数-元组 (1,…,)组成。子空间,与R等价,由只有前元素是非零 (1,…,,0,0,…,0)的所有-元组组成。R的两个向量在模去这个子空间的同一个共轭类中当且仅当他们的后 − 个坐标相等。商空间R/ R显然地同构于R−。

更一般地,如果写成子空间与的一个(内部)直和:

则商空间/自然同构于 (Halmos 1974,Theorem 22.1)。

如果是的一个子空间,在中的余维数定义为/的维数。如果是有限维的,这就是与的维数之差(Halmos 1974,Theorem 22.2):

从到商空间/有一个自然满射,将映到它的等价类。这个满射的核(或零空间)是子空间。此关系简单地总结为短正合序列

令 : → 是一个线性算子。的核,记作ker(),是所有 ∈ 使得 = 0的集合。核是的一个子空间。线性代数第一同构定理说商空间/ker()同构于在中的像。一个直接推论,对有限维空间的秩-零化度定理:的维数等于核的维数(的零化度)加上像的维数(的秩)。

线性算子 : → 的余核定义为商空间/im()。

如果是一个巴拿赫空间而是的一个闭子空间,则商/仍是一个巴拿赫空间。上一节已经给出商空间一个向量空间结构。我们定义/上一个范数为

商空间/关于此范数是完备的,所以是一个巴拿赫空间。

令表示区间上连续实值函数的巴拿赫空间。记所有函数 ∈ 使得(0) = 0的子空间为。则某个函数的等价类由它在0点的值决定,商空间/同构于R。

如果是一个希尔伯特空间,则商空间/同构于的正交补。

局部凸空间被一个闭子空间商还是局部凸的(Dieudonné 1970,12.14.8)。事实上,假设是局部凸的所以上的拓扑由一族半范数{α|α∈}生成,这里是一个指标集。设是一个闭子空间,定义/上半范数α

则/是一个局部凸空间,上面的拓扑是商拓扑。

进一步,若是可度量化的,则 /也是;如果是弗雷歇空间,/(Dieudonné 1970,12.11.3)也是。

相关

  • 第一手文献一次文献,又称初级资料、首次资料、一级来源或称第一手资料,是文献学、图书馆学、地理学中指用来做为证据的引文资料, 写作者将其来源方式可以区分成:依据研究资料及方法的不同,
  • 金盏花金盏花(Calendula officinalis)又名金盏菊,在古代西方作为药用或染料,也可以作为化妆品或食用,其叶和花瓣可以食用,因此可以用作菜肴的装饰。一年或二年生草本植物,单叶互生,在基部
  • 米夏埃尔·哈内克迈克尔·哈内克(德语:Michael Haneke,1942年3月23日-),奥地利电影导演,生于德国慕尼黑。迈克尔·哈内克的作品可分为奥地利时期跟法国时期,以社会议题而闻名于世。他的法国时期有两
  • 飞鱼反舰导弹飞鱼式反舰导弹(法语:Exocet)是一款由法国研发制造的反舰导弹,拥有舰射、潜射、空射等多种不同的发射方式,而除了潜射型版本外,飞鱼导弹可以接近音速及接近水面5米不到的高度飞行
  • 传统文化传统指历史沿传而来的思想、道德、风俗、艺术、制度等。传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化,是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征。
  • 西方墨点法Western印迹法(英语:Western blot)或称“蛋白质转渍法”、“免疫印迹法”(immunoblot)或“西式吸印杂交”,是分子生物学、生物化学和免疫遗传学中常用的一种实验方法,也是HIV检测的
  • 扭转数扭转数(英语:twisting number)是拓扑学中的一个拓扑不变量。指带状结构的扭转程度。取值为带状结构扭转角的2π分之一。。一般记作: T w
  • 1051年重要事件及趋势重要人物
  • KC-10A ExtenderKC-10加油机(英语:KC-10 Extender)是三发动机麦道DC-10飞机的军事版本,是为美国空军改装而来。 KC-10其主要角色是专门结合军事用途,拥有运输和空中加油的设备。它在开发时补充了
  • 兖州区.mw-parser-output ruby.zy{text-align:justify;text-justify:none}.mw-parser-output ruby.zy>rp{user-select:none}.mw-parser-output ruby.zy>rt{font-feature-settings: