刘维尔定理 (微分代数)

刘维尔定理揭示了具有初等原函数的初等函数的本质特征。其最早由约瑟夫·刘维尔于十九世纪三四十年代提出，经后人推广到一般的微分域上，并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上。

初等函数的原函数并不总是初等函数，例如 ${\displaystyle e^{-<!--\; -\; -->x^2}}$。若对于 ${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}f,g\in <!--\; \in \; -->F}$ 是 的微分域扩张 ${\displaystyle K=F(h)}$是指接连进行如上的扩张得到的微分域 ${\displaystyle F(h_1,...,h_n)}$，其中 ${\displaystyle h_j}$ 在 ${\displaystyle F(h_1,...,h_{j-<!--\; -\; -->1})}$ 上基本初等。

一个函数 ${\displaystyle f(x)}$ 称为初等函数 若它在微分域 ${\displaystyle (\mathbb{C}(x),\mathrm{d}/\mathrm{d}x)}$（有理函数加普通导数）的某个初等扩张中。

以下为刘维尔第一定理（Theorem of Liouville-first statement）。

设 ${\displaystyle F}$ 为微分域，${\displaystyle K}$ 为 ${\displaystyle F}$ 的初等扩张，且 ${\displaystyle \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(K,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(F,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})}$，对于 ${\displaystyle f\in <!--\; \in \; -->F}$，存在 ${\displaystyle g\in <!--\; \in \; -->K}$, 使得 ${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}g=f}$，则

其中 ${\displaystyle c_1,...,c_n\in <!--\; \in \; -->\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(F,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})}$, ${\displaystyle u_1,...,u_n,v\in <!--\; \in \; -->F}$

以下为刘维尔第二定理（Theorem of Liouville-second statement），又称强刘维尔定理（Strong Liouville theorem）。

设 ${\displaystyle F}$ 为微分域，${\displaystyle B=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(F,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})}$，若 ${\displaystyle g}$ 在 ${\displaystyle F}$ 上初等，且满足 ${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}g=f\in <!--\; \in \; -->F}$，则

其中 ${\displaystyle c_1,...,c_n\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}}$，${\displaystyle v\in <!--\; \in \; -->F}$, ${\displaystyle u_1,...,u_n,v\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}F}$，${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的代数闭域.每个 ${\displaystyle F}$ 上 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}F}$ 的自同构交换求和的顺序。

例如复数域上的有理函数域 ${\displaystyle \mathbb{C}(x)}$ 与通常的导数即构成了一个微分域 ${\displaystyle (\mathbb{C}(x),\mathrm{d}/\mathrm{d}x)}$（有理函数的导数仍是有理函数），该微分域的常数集即是复数集${\displaystyle \mathbb{C}}$。

函数 ${\displaystyle 1/x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}(x)}$ 的原函数 ${\displaystyle \ln <!--\; \; -->(x)+C}$ 不属于微分域 ${\displaystyle (\mathbb{C}(x),\mathrm{d}/\mathrm{d}x)}$，但具有如定理所述的对数形式（注意 ${\displaystyle x,C\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}(x),1\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}}$）。

类似的，${\displaystyle 1/(x^2+1)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}(x)}$，其原函数反正切函数可以表达成对数的形式

显然也有 ${\displaystyle C,\frac{1+ix}{1-<!--\; -\; -->ix}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}(x),-<!--\; -\; -->\frac{i}{2}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}}$。

下面考虑 ${\displaystyle f(x)=1/(x\ln <!--\; \; -->(x))}$ 的原函数，显然这不属于 ${\displaystyle \mathbb{C}(x)}$ （${\displaystyle \ln <!--\; \; -->(x)}$ 是 ${\displaystyle \mathbb{C}(x)}$ 上的超越函数）。把 ${\displaystyle \ln <!--\; \; -->(x)}$ 添加到 ${\displaystyle \mathbb{C}(x)}$，形成更大的微分域 ${\displaystyle (F,\mathrm{d}/\mathrm{d}x),F=\mathbb{C}(x)(\ln <!--\; \; -->(x))}$（于是 ${\displaystyle f\in <!--\; \in \; -->F}$）。${\displaystyle f(x)}$ 的一个原函数是 ${\displaystyle \ln <!--\; \; -->(\ln <!--\; \; -->(x))}$，于是我们再次看到，使用包含 ${\displaystyle f(x)}$ 的微分域 ${\displaystyle F}$ 里的函数的对数，表达出了 ${\displaystyle f(x)}$ 的原函数。

事实上，Risch 1969 年的论文表明，对于任意复杂的初等函数，总可以找到适当的包含 ${\displaystyle f(x)}$ 的微分域 ${\displaystyle F}$，以及从 ${\displaystyle \mathbb{C}(x)}$ 开始的初等域扩张塔 ${\displaystyle \mathbb{C}(x,x_1,...,x_n)=F}$。并在此扩张塔的基础上，基于刘维尔定理找到其初等原函数，或证明不存在这样的初等原函数（参见 Risch算法）。

设想我们想知道形如 ${\displaystyle f(x)e^{g(x)},f(x),g(x)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}(x)}$ 的函数是否有初等原函数。由刘维尔定理可以得到，这等价于判断是否存在 ${\displaystyle a(x)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}(x)}$ 使得

若存在这样的 ${\displaystyle a(x)}$，那么其原函数即为 ${\displaystyle a(x)e^{g(x)}}$。

例如对于 ${\displaystyle e^{x^2}}$，（即${\displaystyle f(x)=1,g(x)=x^2}$），应有

如果存在这样的 ${\displaystyle a(x)}$，那么一定可以作部分分式展开：

其中 ${\displaystyle p(x)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}}$ 是 ${\displaystyle \mathbb{C}}$ 上的多项式，${\displaystyle r_j\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}}$ 是 ${\displaystyle a(x)}$ 分母多项式的根，系数 ${\displaystyle A_{jk}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}}$ 被唯一确定。代入前式即可证明这样的 ${\displaystyle a(x)}$ 不存在（因为 ${\displaystyle 2x\cdot <!--\; \cdot \; -->a(x)}$ 会增加多项式的次数，故对照左端项应有 ${\displaystyle p(x)=0}$，而对 ${\displaystyle 1/(x-<!--\; -\; -->r_j{)}^k}$ 求导会增加分母的次数，对照左端项得到这一部分也应该是 0，这样就得到矛盾 1=0）。从而函数 ${\displaystyle e^{x^2}}$ 不存在初等原函数。

借助完全类似的方法，我们可以证明 ${\displaystyle e^x/x}$（对应 ${\displaystyle 1/x=a^{\prime }+a}$），以及 ${\displaystyle \sin <!--\; \; -->(x)/x}$ 也不存在初等原函数. 更进一步，对 ${\displaystyle e^x/x}$ 换元可以得到 ${\displaystyle e^{e^{}}}$