欧拉方程

在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们现在可以将角动量的变化分成分别描述 L {displaystyle mathbf {L} } 的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。这些方程是:其中 L {displaystyle mathbf {L} } 是角动量在体坐标系中的表达， ( d L d t ) r e l a t i v e {displaystyle left({frac {dmathbf {L} }{dt}}right)_{mathrm {relative} }} 是物体角动量相对于体坐标系的变化， ω {displaystyle mathbf {omega } } 是在体坐标系中的角速度，而 N {displaystyle mathbf {N} } 是外力矩。采用主轴坐标，I对角化，则 L {displaystyle mathbf {L} } 分量形式为 I 1 ω 1 e 1 + I 2 ω 2 e 2 + I 3 ω 3 e 3 {displaystyle I_{1}omega _{1}mathbf {e} _{1}+I_{2}omega _{2}mathbf {e} _{2}+I_{3}omega _{3}mathbf {e} _{3}} 。从而，欧拉方程变为如下分量形式方程左边为0时，还是有非平凡解：无力矩进动。该方程也可以使用在坐标轴不在物体上的场合， ( d L d t ) r e l a t i v e {displaystyle left({frac {dmathbf {L} }{dt}}right)_{mathrm {relative} }} 不再连接到物体本身。 ω {displaystyle mathbf {omega } } 是围绕固定坐标轴的转动而不是物体本身的转动。但是，所选的轴必须还是主轴，因为它是对角化的必要条件。这个形式的欧拉方程对于有旋转对称性的物体很有用，因为有些主轴的选取是自由的。