超几何级数

在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点（英语：Regular singular point）的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。当 c {displaystyle c} 不是0,-1,-2...时，对于|z| < 1，超几何函数可用如下幂级数定义2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ a ( n ) b ( n ) c ( n ) z n n ! {displaystyle ,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=sum _{n=0}^{infty }{a^{(n)}b^{(n)} over c^{(n)}},{z^{n} over n!}}其中   x ( n ) {displaystyle x^{(n)}} 是递进阶乘，定义为:当a或b是0或负整数时级数只有有限项。对于满足|z| ≥ 1 的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径做解析延拓来得到。很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; z ) = Γ ( c ) z 1 − c 2 ( 1 − z ) c − 1 2 P − a 1 − c ( 1 − 2 z ) {displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=Gamma (c)z^{tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}很多多项式，例如贾可比多项式 P(α,β)n及其特殊情形勒让德多项式, 车比雪夫多项式, Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示2 F 1 ( − n , α + 1 + β + n ; α + 1 ; x ) = n ! ( α + 1 ) n P n ( α , β ) ( 1 − 2 x ) {displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,alpha +1+beta +n;alpha +1;x)={frac {n!}{(alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(alpha ,beta )}(1-2x)} 其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式, Meixner多项式, Meixner–Pollaczek多项式。椭圆模函数（英语：Elliptic modular function）有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若则是τ的椭圆模函数.不完整的beta函数 Bx(p,q) 表示成完整的椭圆积分 K 和 E 如下给出超几何函数满足的微分方程称为超几何方程，其形式为（参见广义超几何函数)展开后，得它有三个正则奇点：0, 1, ∞.超几何方程的指标方程（英语：Frobenius method）为它的两个指标 ρ 是 0 和 1-c。当 c不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：当 c 为 1 时，方程只有一个正则解。当 c 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。事实上，当 c 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer G-函数：只需作代换 t=1-z，方程变为：当 a+b-c 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：当 a-b 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。参数 α,β,γ 称为李代数参数。运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 a,b,c 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。引入记号：则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。式中的 Β 是beta函数。可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 z=0 附近的性质，可以确定它的具体形式。设则上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 t 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按 z 展开成幂级数，故可知等号右边应取 C 2F1(a,b,c;z) 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 C 为待定的常数。对比积分表达式在 z=0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 C。Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 β 与 μ 对换）：由 a,b 的对称性自然有：Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令则取由 w(u) 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-z) -bw(z) 在 z=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 β 变成 -β：Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。给定一组李代数参数(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（F α, β, μ 恒等于 F α, β, -μ），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。例如 Euler 变换可以表示为：下面是一个二次变换的例子：二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：令则取仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为其中 f(z),g(z) 是 z 的函数， P(z) 表示 z 要满足的约束。下表给出了一些二次变换。另外还有：将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Goursat（1881）。这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。