第二基本形式

微分几何中，第二基本形式（second fundamental form）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。

R3 中一个参数曲面 的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像， = (,)，且平面 = 0 与曲面在原点相切。则 以及关于 和 的偏导数在 (0,0) 皆为零。从而 在 (0,0) 处的泰勒展开以二次项开始：

则在 (, ) 坐标中在原点处的第二基本形式是二次型：

对 上一个光滑点 ，总可以选取坐标系使得坐标的 -平面与 切于 ，然后可以相同的方式定义第二基本形式。

一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设 r=r(,) 是 R3 中一个正则参数曲面，这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 和 的偏导数为 r_u 与 r_v。参数化的正则性意味着 r_u 与 r_v 对 r 的定义域中任何 (,) 是线性无关的。等价地，叉积 r_u × r_v 是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场 n：

第二基本形式通常写成

在基 {r_u, r_v} 下的矩阵是

在参数化 -平面上一个给定点处系数 , , 由 r 在那个点的二次偏导数到 的法线上投影给出，利用点积可计算如下：

一个通常曲面 的第二基本形式定义如下：设 r=r(1,2) 是 R3 中一个正则参数曲面，这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 α 的偏导数为 r_α，α = 1，2。参数化的正则性意味着 r₁ 与 r₂ 在 r 的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成 S 的切空间。等价地，叉积 r₁ × r₂ 是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场 n：

第二基本形式通常写作

上式使用了爱因斯坦求和约定。

在参数 (1, 2)-曲面给定点处系数 _αβ 由 r 的二次偏导数到 的法线的投影给出，利用点积可写成：

在欧几里得空间中，第二基本形式由

给出，这里 ${\displaystyle \mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$）的等价方法，

这里 ${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{v}w}$ 超曲面上一个法向量场。如果仿射联络是无挠的，则第二基本形式是对称的。

第二基本形式的符号取决于 的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个定向）。

第二基本形式可以推广到任意余维数。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为

这里 ${\displaystyle ({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{v}w{)}^{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}}$ 是嵌入黎曼流形 (,) 中一个流形，则 在诱导度量下的曲率张量 ${\displaystyle R_N}$ 的曲率张量 ${\displaystyle R_M}$ 表示出来：