归一条件

在量子力学里，表达粒子的量子态的波函数必须满足归一条件（归一化，英语：be normalized），也就是说，在空间内，找到粒子的概率必须等于 ${\displaystyle 1}$ 。这性质称为归一性。用数学公式表达，

其中，${\displaystyle x}$ 是粒子的位置，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$ 是波函数。

一般而言，波函数 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 是一个复函数。可是，${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{\mid <!--\; \mid \; -->}^2}$ 是一个实函数，大于或等于 ${\displaystyle 0}$ ，称为“概率密度函数”。所以，在区域 ${\displaystyle }$ 内，找到粒子的概率 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}P}$ 是

既然粒子存在于空间，概率是 ${\displaystyle 1}$ 。所以，积分于整个一维空间：

假若，从解析薛定谔方程而得到的波函数 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ ，其概率 ${\displaystyle P}$ 是有限的，但不等于 ${\displaystyle 1}$ ，则可以将波函数 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 乘以一个常数，使概率 ${\displaystyle P}$ 等于 ${\displaystyle 1}$ 。或者，假若波函数内，已经有一个任意常数，可以设定这任意常数的值，使概率 ${\displaystyle P}$ 等于 ${\displaystyle 1}$。

在一维空间内，束缚于区域 ${\displaystyle }$ 内的一个粒子，其波函数是

其中，${\displaystyle k}$ 是波数，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 是角频率，${\displaystyle A}$ 是任意常数。

计算能够使波函数归一化的常数值 ${\displaystyle A}$ 。将波函数代入：

积分于整个粒子存在的区域：

稍加运算，

归一化的波函数是：

薛定谔方程为

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$ 是约化普朗克常数，${\displaystyle V(x)}$ 是位势，${\displaystyle E}$ 是能量。

将波函数 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 归一化为 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{}^{\prime }=A\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 。则薛定谔方程成为

薛定谔方程的形式不变。对于归一化，薛定谔方程是个不变式，因为薛定谔方程是个线性微分方程。

一个表达粒子量子态的波函数，必须满足粒子的薛定谔方程。既然 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 和 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{}^{\prime }}$ 都能够满足同样的薛定谔方程，它们必定都表达同样的量子态。假若不使用归一化的波函数，则只能知道概率的相对大小；否则，使用归一化的波函数，可以知道绝对的概率。这对于量子问题的解析，会提供许多便利。

给予一个归一化的波函数．随着时间的变化，波函数也会改变．假若，随着时间改变的波函数不再满足归一条件，则势必要重新将波函数归一化．这样，归一常数 ${\displaystyle A}$ 变得含时间．很幸运地，满足薛定谔方程的波函数的归一性是恒定的．设定波函数 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,t)}$ 满足薛定谔方程与归一条件：

假若，归一性是恒定的，则概率 ${\displaystyle P}$ 不含时间。为了显示这一点，先计算 ${\displaystyle \frac{dP}{dt}}$ ：

展开被积函数

编排薛定谔方程，可以得到波函数 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 对于时间的偏导数：

共轭波函数 ${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$ 对于时间的偏导数为

将 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 与 ${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$ 代入被积函数

代入 ${\displaystyle \frac{dP}{dt}}$ 的方程:

可是，在 ${\displaystyle x=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$ ，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 与 ${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$ 都等于 0 ．所以，

概率 ${\displaystyle P=1}$ 不含时间。波函数的归一化是恒定的。