干涉 (物理学)

干涉（interference）在物理学中，指的是两列或两列以上的波在空间中重叠时发生叠加，从而形成新波形的现象:425。

例如采用分束器将一束单色光束分成两束后，再让它们在空间中的某个区域内重叠，将会发现在重叠区域内的光强并不是均匀分布的：其明暗程度随其在空间中位置的不同而变化，最亮的地方超过了原先两束光的光强之和，而最暗的地方光强有可能为零，这种光强的重新分布被称作“干涉条纹”。在历史上，干涉现象及其相关实验是证明光的波动性的重要依据:287，但光的这种干涉性质直到十九世纪初才逐渐被人们发现，主要原因是相干光源的不易获得。

为了获得可以观测到可见光干涉的相干光源，人们发明制造了各种产生相干光的光学器件以及干涉仪，这些干涉仪在当时都具有非常高的测量精度：阿尔伯特·迈克耳孙就借助迈克耳孙干涉仪完成了著名的迈克耳孙－莫雷实验，得到了以太风观测的零结果。迈克耳孙也利用此干涉仪测得标准米尺（英语：International prototype metre）的精确长度，并因此获得了1907年的诺贝尔物理学奖:980。而在二十世纪六十年代之后，激光这一高强度相干光源的发明使光学干涉测量技术得到了前所未有的广泛应用，在各种精密测量中都能见到激光干涉仪的身影。现在人们知道，两束电磁波的干涉是彼此振动的电场强度矢量叠加的结果，而由于光的波粒二象性，光的干涉也是光子自身的几率幅叠加的结果:1066。

两列波在同一介质中传播发生重叠时，重叠范围内介质的质点同时受到两个波的作用。若波的振幅不大，此时重叠范围内介质质点的振动位移等于各别波动所造成位移的矢量和，这称为波的叠加原理:425。若两波的波峰（或波谷）同时抵达同一地点，称两波在该点同相，干涉波会产生最大的振幅，称为相长干涉（建设性干涉）；若两波之一的波峰与另一波的波谷同时抵达同一地点，称两波在该点反相，干涉波会产生最小的振幅，称为相消干涉（摧毁性干涉）:427。

理论上，两列无限长的单色波的叠加总是能产生干涉，但实际物理模型中产生的波列不可能是无限长的，并从波产生的微观机理来看，波的振幅和相位都存在有随机涨落，从而现实中不存在严格意义的单色波。例如太阳所发出的光波出自于光球层的电子与氢原子的相互作用:105，每一次作用的时间都在10-9秒的数量级，则对于两次发生时间间隔较远所产生的波列而言，它们无法彼此发生干涉:590。基于这个原因，可以认为太阳是由很多互不相干的点光源组成的扩展光源。从而，太阳光具有非常宽的频域，其振幅和相位都存在着快速的随机涨落，通常的物理仪器无法跟踪探测到变化如此之快的涨落，因此无法通过太阳光观测到光波的干涉。类似地，对于来自不同光源的两列光波，如果这两列波的振幅和相位涨落都是彼此不相关的，称这两列波不具有相干性:286。相反，如果两列光波来自同一点光源，则这两列波的涨落一般是彼此相关的，此时这两列波是完全相干的。

如要从单一的不相干波源产生相干的两列波，可以采用两种不同的方法：一种称为波前分割法，即对于几何尺寸足够小的波源，让它产生的波列通过并排放置的狭缝，根据惠更斯－菲涅耳原理，这些在波前上产生的子波是彼此相干的；另一种成为波幅分割法，用半透射、半反射的半镀银镜，可以将光波一分为二，制造出透射波与反射波。如此产生的反射波和透射波来自于同一波源，并具有很高的相干性，这种方法对于扩展波源同样适用:286。

两束光发生干涉后，干涉条纹的光强分布与两束光的光程差/相位差有关：当相位差${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},...}$时光强最大；当相位差${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},...}$时光强最小。从光强最大值和最小值的和差值可以定义干涉可见度作为干涉条纹清晰度的量度。

光作为电磁波，它的强度${\displaystyle I}$定义为在单位时间内，垂直于传播方向上的单位面积内能量对时间的平均值，即玻印亭矢量对时间的平均值:287-290:169-170：

从而光强可以用${\displaystyle ⟨{\mathbf{E}}^2⟩}$这个量来表征。对于单色光波场，电矢量${\displaystyle \mathbf{E}}$可以写为

这里${\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})}$是复振幅矢量，在笛卡尔直角坐标系下可以写成分量的形式${\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i(\mathbf{r})e^{i{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i(\mathbf{r})}{\mathbf{e}}_{i}i=1,2,3}$。

这里${\displaystyle a_i(\mathbf{r})}$是在三个分量上的（实）振幅，对于平面波${\displaystyle a_i(\mathbf{r})=a_i}$，即振幅在各个方向上是常数。${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i(\mathbf{r})}$是在三个分量上的相位，${\displaystyle \mathit{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r})=\mathbf{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_i}$，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_i}$是表征偏振的常数。

要计算这个平面波的光强，则先计算电场强度的平方：

对于远大于一个周期的时间间隔内，上式中前两项的平均值都是零，因此光强为

对于两列频率相同的单色平面波${\displaystyle {\mathbf{E}}_1}$、${\displaystyle {\mathbf{E}}_2}$，如果它们在空间中某点发生重叠，则根据叠加原理，该点的电场强度是两者的矢量和：

则在该点的光强为

其中${\displaystyle ⟨{\mathbf{E}}_1^2⟩}$、${\displaystyle ⟨{\mathbf{E}}_2^2⟩}$是两列波各自独立的光强，而${\displaystyle 2⟨{\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{E}}_2⟩}$是干涉项。用${\displaystyle \mathbf{A}}$、${\displaystyle \mathbf{B}}$表示两列波的复振幅，则干涉项中${\displaystyle {\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{E}}_2}$可以写为

前两项对时间取平均值仍然为零，从而干涉项对光强的贡献为

根据前面复振幅的定义，${\displaystyle \mathbf{A}}$、${\displaystyle \mathbf{B}}$可以在笛卡尔坐标系下分解为

和

将分量形式代入上面干涉项的光强，可得${\displaystyle 2⟨{\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{E}}_2⟩=a_1{b}_1\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1)+a_2{b}_2\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2)+a_3{b}_3\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_3-<!--\; -\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_3)}$

倘若在各个方向上，两者的相位差${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_i={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i-<!--\; -\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_i}$都相同并且是定值，即

其中${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$是单色光的波长，${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}L}$是两列波到达空间中同一点的光程差。

此时干涉项对光强的贡献为

光波是电矢量垂直于传播方向的横波，这里考虑一种简单又不失一般性的情形：线偏振光，电矢量位于x轴上，传播方向为z轴方向，则两列波在其他方向上的振幅都为零：

代入总光强公式：

因此干涉后的光强是相位差的函数，当${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},...}$时有极大值${\displaystyle I_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}}$；当${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},...}$时有极小值${\displaystyle I_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=I_1+I_2-<!--\; -\; -->2\sqrt{I_1{I}_2}}$。

特别地，当两列波光强相同即${\displaystyle I_1=I_2=I_0}$时，上面公式可化简为

显然，对于不同的干涉情形，产生的极大值和极小值差异是不同的。由此可以定义条纹的可见度（英语：interferometric visibility）${\displaystyle \mathcal{V}}$作为条纹清晰度的量度：

虽然以上的讨论是基于两列波都是线偏振光的假设，但对于非偏振光也成立，这是由于自然光可以看作是两个互相垂直的线偏振光的叠加。

英国物理学者托马斯·杨于1801年做实验演示光的干涉演示，称为杨氏双缝实验。这实验对于光波动说给出有力支持，由于实验观测到的干涉条纹是艾萨克·牛顿所代表的光微粒说无法解释的现象，双缝实验使大多数的物理学家从此逐渐接受了光波动说。杨氏双缝的实验设置如右图所示，从一个点光源出射的单色波传播到一面有两条狭缝的挡板，两条狭缝到点光源的距离相等，并且两条狭缝间的距离很小。由于点光源到这两条狭缝的距离相等，这两条狭缝就成为了同相位的次级单色点光源，从它们出射的相干光发生干涉，因此可以在远距离的屏上得到干涉条纹:290-292:964。

如果两条狭缝之间的距离为${\displaystyle a}$，狭缝到观察屏的垂直距离为${\displaystyle d}$，则根据几何关系，在观察屏上以对称中心点为原点，坐标为${\displaystyle (x,y)}$处两束相干光的光程分别为

当狭缝到观察屏的垂直距离${\displaystyle d}$远大于${\displaystyle x}$时，这两条光路长度的差值可以近似在图上表示为：从狭缝1向光程2作垂线所构成的直角三角形中，角${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$所对的直角边${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}s}$。而根据几何近似，这段差值为

如果实验在真空或空气中进行，则认为介质折射率等于1，从而有光程差${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}L=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}s=a\frac{x}{d}}$，相位差${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\frac{ax}{d}}$。

根据前文结论，当相位差${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$等于${\displaystyle 2m\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},|m|=0,1,2,...}$时光强有极大值，从而当${\displaystyle x=\frac{md\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{a},|m|=0,1,2,...}$时有极大值；当相位差${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$等于${\displaystyle 2m\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},|m|=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},...}$时光强有极小值，从而当${\displaystyle x=\frac{md\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{a},|m|=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},...}$时有极小值。从而杨氏双缝干涉会形成等间距的明暗交替条纹，间隔为${\displaystyle \frac{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{a}}$。

若在双缝干涉中增加狭缝在两条狭缝连线上的线宽，以至于狭缝无法看作是一个点光源，此时形成的扩展光源可以看作是多个连续分布的点光源的集合。这些点光源由于彼此位置不同，在屏上同一点将导致不同的相位差，将有可能导致各个点光源干涉的极大值和极小值点重合，这就导致了条纹可见度的下降。

菲涅耳双面镜（Fresnel double mirror）是一种可以直接产生两个相干光源的仪器。菲涅耳双面镜是两个长度相同的平面镜M1、M2的组合，两个平面镜的摆放相对位置成一个很小的倾角α。当光波从点光源S的位置入射到两个镜面发生各自的反射后，分别形成了两个虚像S1和S2。由于它们是同一光源的虚像，因此是相干光源，左图中蓝色阴影的部分即为两束光的干涉区域:292-293:12-13。

从图中可见菲涅耳双面镜干涉的几何关系与杨氏双缝相同，因此只要求得两个虚像间的距离d就可以推知干涉条纹的位置。如果设光源S到两个平面镜交点A的距离为b，根据镜面对称可知两个相干光源到镜面交点的距离也等于b，即${\displaystyle S_{1}A=S_{2}A=SA=b}$，

而虚光路S₁A、S₂A和平分线（图中水平的点划线）的夹角都等于平面镜倾角α，从而有${\displaystyle d=2b\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$。

这个距离等效于杨氏双缝中两条狭缝的间距，代入上文中公式即可得到干涉条纹的位置。光波入射到两个镜面时各自都会发生${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$的反射相变，从而不会影响两者最终的相位差，因此菲涅耳双面镜干涉条纹的形状与杨氏双缝完全相同，都是等间距的明暗相间条纹，中间为零级亮纹。

菲涅耳双棱镜（Fresnel double prism）是一种类似于菲涅耳双面镜的形成相干光源的仪器，它由两块相同的薄三棱镜底面相合而构成，三棱镜的折射角很小，并且两者的折射棱互相平行。当位于对称轴上的点光源S发出光时，入射光在两块棱镜的作用下部分向上折射，部分向下折射，从而形成两个对称的虚像，这两个虚像即为两个相干光源:293-294。

如果三棱镜的顶角为α，折射率为n，则当α很小时光线因折射的偏折角度${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(n-<!--\; -\; -->1)}$。

如果点光源S到三棱镜的距离为a，则根据几何关系可知两个相干光源间的距离为

以下关于条纹间距的计算和杨氏双缝相同。

洛埃镜（Lloyd mirror）是一种更简单的波前分割干涉仪器，本质为一块平置的平面镜M。点光源S位于离平面镜M较远且相当接近平面镜所在平面的地方，因此入射光倾角非常小。点光源S和它在平面镜所成虚像S'形成了一对相干光源。根据图中几何关系，若点光源S到镜平面的距离为d，则两个相干光源间的距离为2d。由于两条相干光路中其中一条经过了镜面反射，因此只有一束相干光发生了${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$