交错级数判别法

✍ dations ◷ 2025-10-21 15:42:18 #级数,审敛法,戈特弗里德·莱布尼茨

交错级数审敛法（Alternating series test）是证明无穷级数收敛的一种方法．该方法最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则．

具有以下形式的级数

其中所有的非负，被称作交错级数．如果当n趋于无穷时，数列的极限存在且等于0，并且每个小于或等于（即，数列是单调递减的），那么级数收敛．如果是级数的和

那么部分和

逼近有截断误差

我们假设级数具有形式 $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$ ．当 $n {\displaystyle n}$ $n$ 趋于无穷时，数列 $a_{n}$ $a_{n}$ 的极限等于0，并且每个 $a_{n}$ $a_{n}$ 小于或等于 $a_{n-1}$ $a_{{n-1}}$ （即 $a_{n}$ $a_{n}$ 是单调递减数列）．

给定数列前(2n+1)项的部分和 $S_{2n+1}=a_{0}+\left({-a_{1}+a_{2}}\right)+\left({-a_{3}+a_{4}}\right)+\ldots +\left({-a_{2n-1}+a_{2n}}\right)-a_{2n+1}$ $S_{2n+1}=a_{0}+\left({-a_{1}+a_{2}}\right)+\left({-a_{3}+a_{4}}\right)+\ldots +\left({-a_{2n-1}+a_{2n}}\right)-a_{2n+1}$ ．由于每个括号内的和非正，并且 $a_{2n+1}\geq 0$ $a_{{2n+1}}\geq 0$ ，那么前 (2n+1)项的部分和不大于 $a_{0}$ $a_{0}$ .

并且每个部分和可写做 $S_{2n+1}=\left({a_{0}-a_{1}}\right)+\left({a_{2}-a_{3}}\right)+\ldots +\left({a_{2n}-a_{2n+1}}\right)$ $S_{2n+1}=\left({a_{0}-a_{1}}\right)+\left({a_{2}-a_{3}}\right)+\ldots +\left({a_{2n}-a_{2n+1}}\right)$ ．每个括号内的和非负．因此，级数 $S_{2n+1}$ $S_{{2n+1}}$ 单调递增：对任何 $n\in N$ $n\in N$ 均有： $S_{2n+1}\leq S_{2n+3}$ $S_{{2n+1}}\leq S_{{2n+3}}$ .

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数s使得 $\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s$ $\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s$ .

由于 $S_{2n}=S_{2n+1}-a_{2n+1}$ $S_{2n}=S_{2n+1}-a_{2n+1}$ 并且 $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=0$ $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=0$ ，那么 $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=s$ $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=s$ ．给定数列的和为 $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s$ $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s$ ，其中 $s {\displaystyle s}$ $s$ 为有限数，从而数列收敛．

在收敛性的证明过程中，我们发现 $S_{2n+1}$ $S_{{2n+1}}$ 是单调递增的．由于 $S_{2n}=a_{0}+\left(-a_{1}+a_{2}\right)+\ldots +\left(-a_{2n-1}+a_{2n}\right)$ $S_{{2n}}=a_{0}+\left(-a_{1}+a_{2}\right)+\ldots +\left(-a_{{2n-1}}+a_{{2n}}\right)$ ，并且括号中的每一项是非正的，这样可知 $S_{2n}$ $S_{{2n}}$ 是单调递减的．由先前的论述， $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=L$ $\lim _{{n\to \infty }}S_{{2n}}=L$ ，因此 $S_{2n}\geq L$ $S_{{2n}}\geq L$ ．类似的，由于 $S_{2n+1}$ $S_{{2n+1}}$ 是单调递增且收敛到 $L {\displaystyle L}$ $L$ ，我们有 $S_{2n+1}\leq L$ $S_{{2n+1}}\leq L$ ．因此我们有 $S_{2n+1}\leq L\leq S_{2n}$ $S_{{2n+1}}\leq L\leq S_{{2n}}$ 对所有的n均成立．

因此如果k是奇数我们有 $|L-S_{k}|=L-S_{k}\leq S_{k+1}-S_{k}=a_{k+1}\leq a_{k}$ $|L-S_{k}|=L-S_{k}\leq S_{{k+1}}-S_{k}=a_{{k+1}}\leq a_{k}$ ，而如果k是偶数我们有 $|L-S_{k}|=S_{k}-L\leq S_{k}-S_{k-1}=a_{k}$ $|L-S_{k}|=S_{k}-L\leq S_{k}-S_{{k-1}}=a_{k}$ ．

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