交错级数判别法

交错级数审敛法（Alternating series test）是证明无穷级数收敛的一种方法．该方法最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则．

具有以下形式的级数

其中所有的 非负，被称作交错级数．如果当n趋于无穷时，数列的极限存在且等于0，并且每个小于或等于（即，数列是单调递减的），那么级数收敛．如果是级数的和

那么部分和

逼近有截断误差

我们假设级数具有形式${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n{a}_n}$．当${\displaystyle n}$趋于无穷时，数列${\displaystyle a_n}$的极限等于0，并且每个 ${\displaystyle a_n}$小于或等于${\displaystyle a_{n-<!--\; -\; -->1}}$（即${\displaystyle a_n}$是单调递减数列）．

给定数列前(2n+1)项的部分和${\displaystyle S_{2n+1}=a_0+\left(-<!--\; -\; -->a_1+a_2\right)+\left(-<!--\; -\; -->a_3+a_4\right)+\dots <!--\; \dots \; -->+\left(-<!--\; -\; -->a_{2n-<!--\; -\; -->1}+a_{2n}\right)-<!--\; -\; -->a_{2n+1}}$．由于每个括号内的和非正，并且${\displaystyle a_{2n+1}\ge <!--\; \ge \; -->0}$，那么前 (2n+1)项的部分和不大于${\displaystyle a_0}$.

并且每个部分和可写做${\displaystyle S_{2n+1}=\left(a_0-<!--\; -\; -->a_1\right)+\left(a_2-<!--\; -\; -->a_3\right)+\dots <!--\; \dots \; -->+\left(a_{2n}-<!--\; -\; -->a_{2n+1}\right)}$．每个括号内的和非负．因此，级数${\displaystyle S_{2n+1}}$单调递增：对任何${\displaystyle n\in <!--\; \in \; -->N}$均有：${\displaystyle S_{2n+1}\le <!--\; \le \; -->S_{2n+3}}$.

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数s使得 ${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{S}_{2n+1}=s}$.

由于${\displaystyle S_{2n}=S_{2n+1}-<!--\; -\; -->a_{2n+1}}$并且${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{a}_n=0}$，那么${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{S}_{2n}=s}$．给定数列的和为${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{S}_{2n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{S}_{2n+1}=s}$，其中${\displaystyle s}$为有限数，从而数列收敛．

在收敛性的证明过程中，我们发现${\displaystyle S_{2n+1}}$是单调递增的．由于${\displaystyle S_{2n}=a_0+\left(-<!--\; -\; -->a_1+a_2\right)+\dots <!--\; \dots \; -->+\left(-<!--\; -\; -->a_{2n-<!--\; -\; -->1}+a_{2n}\right)}$，并且括号中的每一项是非正的，这样可知${\displaystyle S_{2n}}$是单调递减的．由先前的论述，${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{S}_{2n}=L}$，因此${\displaystyle S_{2n}\ge <!--\; \ge \; -->L}$．类似的，由于${\displaystyle S_{2n+1}}$是单调递增且收敛到${\displaystyle L}$，我们有${\displaystyle S_{2n+1}\le <!--\; \le \; -->L}$．因此我们有${\displaystyle S_{2n+1}\le <!--\; \le \; -->L\le <!--\; \le \; -->S_{2n}}$对所有的n均成立．

因此如果k是奇数我们有${\displaystyle |L-<!--\; -\; -->S_k|=L-<!--\; -\; -->S_k\le <!--\; \le \; -->S_{k+1}-<!--\; -\; -->S_k=a_{k+1}\le <!--\; \le \; -->a_k}$，而如果k是偶数我们有${\displaystyle |L-<!--\; -\; -->S_k|=S_k-<!--\; -\; -->L\le <!--\; \le \; -->S_k-<!--\; -\; -->S_{k-<!--\; -\; -->1}=a_k}$．