拉普拉斯变换

拉普拉斯变换（英语：Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换，其符号为${\displaystyle {\displaystyle \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}}}$() 是正整数 的一个离散函数，那么与 () 相关的幂级数为

其中 是实变量（参见Z变换）。将对 的加和替换成对 的积分，则此幂级数的连续形式为

其中离散型函数 () 被替换成连续型的 ()。（参见下文梅林变换。）改变幂的基底 为 得

要使这个积分对任何有界函数 都收敛，就需要满足 = log 代换就能得到拉普拉斯变换：

换句话说，拉普拉斯变换是幂级数的一个连续模拟，只是把离散参数 换成了连续变量 ， 换成了 −。

函数 的为

如果 的前 阶矩绝对收敛，则通过反复在积分符号内取微分，就得到${\displaystyle (-<!--\; -\; -->1{)}^n(\mathcal{L}f{)}^{(n)}(0)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n}$ 的矩是${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n=E}$() 表示 的 阶导数，可以由归纳假设得出。

令${\displaystyle \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$ → 0，假定可以改变取极限顺序，就得到性质

即便在不可以交换，此计算依然有暗示性。例如，形式上按此计算得到

这个性质的正确性可以用其他方法证明。它是傅汝兰尼积分（Frullani integral）的一个例子。

例子还有狄利克雷积分。

连续傅里叶变换相当于计算令 ${\displaystyle s=\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 的双边拉普拉斯变换：

变换表达式为：

其中 ${\displaystyle z\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->e^{sT}}$ 。

由于拉普拉斯变换是一个线性算子：

使用这个线性性质 ，以及各种三角、双曲、和复数 （等）的性质，可以从其他拉普拉斯变换得到一些拉普拉斯变换，这会比直接通过使用定义更快。

单边拉普拉斯变换取时域为非负实数的函数作为输入，这就是下表中所有时域函数都乘以单位阶跃函数 u() 的原因。表中涉及时间延迟 τ 的条目必须是因果的 （即 τ > 0）。因果系统是 = 0 之前的冲激响应 () 都为零的一个系统。在一般情况下，因果系统的收敛区域和反因果系统是不相同的。

拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的；线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算，而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决，由于它的代数形式。

拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程，这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程，这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师奥利弗·黑维塞第一次提出了一个类似的计划，虽然没有使用拉普拉斯变换；以及由此产生的演算被誉为黑维塞演算。

应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。