狄拉克场

在量子场论中，狄拉克场用于描述自旋-1/2的费米子，如：电子、质子、夸克等粒子。并且狄拉克场遵守反正则对易关系，数学上可以表示成有四的分量的旋量或一对两个分量的外尔旋量。

虽然都用于描述自旋-1/2的费米子，其与马约拉那场不同。狄拉克场描述的粒子存在反粒子，然而马约拉那场描述的粒子即为自身的反粒子。

自由（没有交互作用）的狄拉克场遵守反正则对易关系，数学上使用到反交换子${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$代表质量。这个方程式最简单的解为平面波${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1(x)=u(p)e^{-<!--\; -\; -->ip.x}}$和${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2(x)=v(p)e^{ip.x}}$。平面波组成了一个${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$的傅立叶基底。我们能以此基底作展开，如下：

${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{3}p}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}\underset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(a_{\mathbf{\text{p}}}^s{u}^s(p)e^{-<!--\; -\; -->ip\cdot <!--\; \cdot \; -->x}+b_{\mathbf{\text{p}}}^{s†<!--\; †\; -->}{v}^s(p)e^{ip\cdot <!--\; \cdot \; -->x}\right).}$

${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$标示了旋量的指标，${\displaystyle s}$表示自旋，s = +1/2或s=−1/2。前面系数中的能量是为了劳伦兹积分的协变性。由于${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$可以视作一个算符，每个傅立叶基底的系数也必须是算符。因此，${\displaystyle a_{\mathbf{\text{p}}}^s}$以及${\displaystyle b_{\mathbf{\text{p}}}^{s†<!--\; †\; -->}}$为作用子。这些算符的性质可以从这些场的性质中得知。${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$和${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(y{)}^{†<!--\; †\; -->}}$遵守反对易关系：

借由将${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$和${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(y)}$作展开，我们可以得到系数间的反对易关系：

于非相对论系统中的创造与湮灭算符相类似，从这个代数关系得到了这样的物理诠释：${\displaystyle a_{\mathbf{\text{p}}}^{s†<!--\; †\; -->}}$产生一个动量${\displaystyle \mathbf{\text{p}}}$自旋为s的粒子，而${\displaystyle b_{\mathbf{\text{q}}}^{r†<!--\; †\; -->}}$产生一个动量${\displaystyle \mathbf{\text{q}}}$自旋为r的反粒子。因此，广义的${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$现在看作产生所有可能动量、自旋之粒子的总合，而其共轭${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{†<!--\; †\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^0}$与其相反，看作湮灭所有动量、自旋之反粒子的总合。

有了对于场及其共轭的了解，我们便能试着架构出劳仑兹协变性的场。最单纯的量为${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$，当中${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{†<!--\; †\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^0}$。其他可能的劳仑兹协变性量${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$。

由于这些量的线性组和同样符合劳仑兹协变性，很自然地得到了狄拉克场的拉格朗日密度，并且其欧拉－拉格朗日方程必须回到狄拉克方程式。

这样的表示将指标隐藏了起来。完整的表示如下：

由${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$，我们可以建构出狄拉克场的费曼传播子：

我们定义狄拉克场的时间排序如下，当中的负号来自于其反对易关系的性质：

对上列的式子作平面波的展开，得到：

在此我们用上了费曼斜线标记。这个式子相当合理，因为系数

即为狄拉克方程式中作用在${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$的相反算符。标量场的费曼传播子也具有相同的性质。由于所有合理的观测量（例如能量、电荷、粒子数等）都由偶数的狄拉克场所构成，两个观测量的对易关系在光锥外为零。就如同我们从量子力学中学习到的，两的可交换的观察量可以同时被观测。因此，我们确定了狄拉克场的劳仑兹协变性，并维持了因果律。

而更复杂、包含交互作用的场论（汤川理论（Yukawa theory）或量子电动力学）同样可以微扰或非为扰方法作分析。

在粒子物理标准模型中，狄拉克场扮演很重要的要素。