全形 (数学)

✍ dations ◷ 2025-12-02 09:12:59 #代数小作品,群论

在数学的群论中，一个群的全形Hol()是一个特定的群，同时包含群和其自同构群Aut()。群的全形可用半直积或交换群来描述。

记群的自同构群为Aut()，则的全形Hol()是

其中的半直积是对于Aut()在上的自然作用，因此全形上的运算如下：令 $(g,\alpha ),(h,\beta )$ )的元，其中, 是的元， $\alpha ,\beta$ 的自同构，则

群以左乘和右乘作用在自身的元素上，定义出两个从到上的对称群Sym()的群同态。左乘对应的群同态为

右乘对应的群同态为

这两个群同态称为的左及右正规表示，并且都是单射（凯莱定理）。换言之，同构于 $\lambda (G)$ 的全形 $\operatorname {Hol} (G)$ $\operatorname {Hol} (G)$ 是 $\lambda (G)$ $\lambda (G)$ 在 $\operatorname {Sym} (G)$ $\operatorname {Sym} (G)$ 中的正规化子。

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