双曲余弦

✍ dations ◷ 2025-04-02 17:36:02 #双曲余弦

在数学中,双曲余弦是一种双曲函数,是双曲几何中,与欧几里得几何的余弦函数相对应的函数。双曲余弦一般以cosh表示,在部分较旧的文献中有时会以 C o s {displaystyle {mathfrak {Cos}}} 为双曲角的终边与双曲线的交点,并令 为点 在共轭双曲线 y 2 b 2 x 2 a 2 = 1 {displaystyle {frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {x^{2}}{a^{2}}}=1} 、共轭点 与原点构成的三角形(三角形)与双曲扇形 的面积比来定义:

在这个定义下,双曲余弦为双曲角 α {displaystyle alpha } 定义为:

则其双曲余弦为:

这个定义对应到单位圆上则可以定义一般的余弦函数。若右图(b)中角 定义为:

则其对应余弦为:

双曲余弦在实数域中是连续函数,在复数域中是全纯函数,因此在整个复数域中双曲余弦处处可微,其导函数为双曲正弦函数。双曲余弦是偶函数,这意味着,双曲余弦满足以下等式:

双曲余弦曲线下的面积(在有限区间内)总是等于该区间对应的弧长:

双曲余弦存在一些特殊值:

其中 φ {displaystyle varphi } = 625.0925英尺(191米)为质心的最高点、 = 1,262.6651 sq ft(117 m2)为截面积的最大值(在拱底取到)、 = 125.1406 sq ft(12 m2)为截面积的最小值(在拱顶取到)、 = 299.2239英尺(91米)质心位于拱底之宽度的一半。

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