双曲余弦

✍ dations ◷ 2025-11-23 00:41:45 #双曲余弦

在数学中，双曲余弦是一种双曲函数，是双曲几何中，与欧几里得几何的余弦函数相对应的函数。双曲余弦一般以cosh表示，在部分较旧的文献中有时会以 ${displaystyle {mathfrak {Cos}}}$ 为双曲角的终边与双曲线的交点，并令为点在共轭双曲线 ${displaystyle {frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {x^{2}}{a^{2}}}=1}$ 、共轭点与原点构成的三角形（三角形）与双曲扇形的面积比来定义：

在这个定义下，双曲余弦为双曲角 ${displaystyle alpha }$ 定义为：

则其双曲余弦为：

这个定义对应到单位圆上则可以定义一般的余弦函数。若右图(b)中角定义为：

则其对应余弦为：

双曲余弦在实数域中是连续函数，在复数域中是全纯函数，因此在整个复数域中双曲余弦处处可微，其导函数为双曲正弦函数。双曲余弦是偶函数，这意味着，双曲余弦满足以下等式：

双曲余弦曲线下的面积（在有限区间内）总是等于该区间对应的弧长：

双曲余弦存在一些特殊值：

其中 ${displaystyle varphi }$ = 625.0925英尺（191米）为质心的最高点、 = 1,262.6651 sq ft（117 m2）为截面积的最大值（在拱底取到）、 = 125.1406 sq ft（12 m2）为截面积的最小值（在拱顶取到）、 = 299.2239英尺（91米）质心位于拱底之宽度的一半。

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