开尔文环流定理

在流体动力学上，开尔文环流定理（英语：Kelvin's circulation theorem，由第一代开尔文男爵威廉·汤姆孙于1869年发表，因此以他命名）描述在彻体力保守的正压理想流体中闭合曲线（包围相同的流体元）的环流在流体运动时并不会随时间而改变。其数学描述为

其中${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$为速度矢量，为沿着闭合围线的单元。

彻体力保守的非黏性流体的主宰方程为

其中D/D为实质导数，为流体密度，为密度，以及为彻体力的势。上式为带彻体力的欧拉方程。

正压性条件意味着密度是压力的函数，且为其唯一自变量，即${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(p)}$。

取环流的实质导数，得：

把主宰方程代入第一项并使用斯托克斯定理，得：

最后的等式是源自${\displaystyle \mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}p=0}$，它是正压性的结果。同时亦使用了任何函数${\displaystyle f}$的梯度的旋度皆为零这一事实${\displaystyle \mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f=0}$。

已知材料线元的时间进化由下式给出（可由实质导数的定义求得）

因此

使用交换律后再使用${\displaystyle \mathit{u}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathit{u}=\frac{1}{2}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\left(|\mathit{u}{|}^2\right)}$。而最后的等式则使用了斯托克斯定理。

由于第一项及第二项皆为零，得