光线转换矩阵分析

✍ dations ◷ 2025-07-16 04:56:19 #几何光学,加速器物理学

光线转换矩阵分析(又称ABCD矩阵分析)，是用于某些光学系统，特别是激光领域的一种光线追踪技术。它包含一个描述光学系统的光线转化矩阵(ray transfer matrix)，这个矩阵与一代表光线的向量相乘之后，可以得到光线在该系统中的运行轨迹。这类的分析也被应用于加速器物理(accelerator physics)中，用以追踪通过粒子加速器中磁铁装置的粒子，详情请见电子光学。

以下介绍的技术使用了近轴逼近法，此逼近法意即假设所有光线相对于系统的光轴(optical axis)都处于小角度(θ为径度)、短距离(x)。

光线追踪技术以两个平面为参考面, 分别为输入平面与输出平面, 这两个平面均垂直于系统的光轴。此外，为了理论的一般性，我们定义系统的光轴即直角坐标系的z轴。一光线与输入面呈θ₁，从距离光轴 ₁ 的入射面进入系统，并在距光轴的₂的输出面呈θ₂射出，而₁, ₂分别是在输入面与输出面中介质的折射率。

这些参数可表成下列关系式:

当

且

这个关系式以光线转化矩阵(RTM, M)将光线向量与输入、输出面互相连结，M代表的是在这两个平面之间的光学系统。根据折射定律与几何关系，可以证明RTM行列式值(determinant)即是两个折射率的比值。

因此，若是输入面与输出面在同一个介质中，或是在具有同一个折射率的不同介质中，M等于1，相似的技术可以应用于电路学上，见二埠网络。

若两个面中有空间存在，光线转换矩阵可以表示成:

其中d表示两参考平面的距离(沿着光轴测量)，此矩阵有下列关系:

两光线各别的参数可表示如下:

另一个范例为一薄透镜，其光线转画矩阵为:

其中f为透镜的焦距。若遇表示依复合光学系统，光线转化矩阵可以交互相乘，形成一总括光线转化矩阵，以下范例唯为一长度为d的空间与薄透镜的复合系统:

注意，矩阵的乘法并没有交换率，因此下面的系统先为一薄透镜，后为一空间。

因此，矩阵必须照顺序排好。不同的矩阵可以代表不同折射率的介质，或者是面镜的反射等等。

简易的光学元素

₂ 为折射后的环境折射率

₁ 为入射时的环境折射率
₂ 为折射后的环境折射率

唯有在焦距远大于透镜厚度时成立

₂ 为透镜内的折射率
₁ 为第一表面的曲率半径
₂ 为第二表面的曲率半径
为透镜的中心厚度

RTM在模拟光学共振系统的时候特别有用，像是激光。在最简单的情况下由两个完全相同，具100%反射率、曲率半径R相互距离为d的面镜组成。为了达到光学追踪的目的，上述的系统可以等同于由一系列焦距为R/2，彼此间的距离为d的薄透镜所组成的系统，此结构又被称为a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系统每一个波导下的RTM如下:

光学转化矩阵分析此时就可以决定一个波导的稳定性(等同于共振器)，意即RTM可以找出光可以周期性地再聚焦，并待在波导内的状况。我们可以找到系统中所有光的”eigenrays”，入射向量在每个mentioned sections的波导乘上一个实数或是复数的 λ 将会等于1。使得：

此为一本征方程式：

其中I为一2x2单位矩阵。我们可以进一步计算此转化矩阵的本征值：

可导出以下特征方程式：

其中

是RTM的轨迹，且

是RTM行列式值的倒数，带入消去后我们可以得到:

其中

是稳定参数。本征值是本征方程式的解，由一元二次方程式可以解出:

现在，考虑一个光线通过系统N次:

如果此波导是稳定的，所有的光都不会被随意的引道到偏离主轴很远的地方，意即λN必须是有限的。吾人假设g2>1，则两本征值均为实数，又因为λ+λ- = 1 ，因此其中一个的绝对值必须大于1，这也暗示了代表本征向量的光线不会收敛。因此在依稳定的波导中，g2≤1，以及本征值可以用复数形式表示:

以g=cos(φ)表示。

假设 $g^{2}<1$ $g^{2}<1$ 且 $r_{+}$ $r_{+}$ , $r_{-}$ $r_{-}$ 是 $\lambda _{+}$ $\lambda _{+}$ , $\lambda _{-}$ $\lambda _{-}$ 的本征向量，此两向量横跨所有向量空间，因为他们是正交因此输入的向量可以被表示成:

$c_{+}$ $c_{+}$ and $c_{-}$ $c_{-}$ 为某常数

再通过N个波导后，输出则为:

这代表一个周期函数。

光线转化矩阵的建立也可以用于描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波长为λ0，曲率半径为R，光点大小w，折射率n，我们可以定义出一复数光束参数(complex beam parameter) q:

此光束可以转移至一具有下列光线转化矩阵的光学系统:

其中k为标准化常数，此常数可以让光束向量的第二个成分为1，利用矩阵乘法:

且

由上式除以下式可得:

此方程式常以倒数形式表示:

假设一光束通过一距离为d的空间，光线转化矩阵为: ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$ .因此

这表示，通过一空间会增加半径d。

假设一光束通过一焦距为f的薄透镜，光线转化矩阵为:

因此

再次强调，只有q的实部会被影响，曲率半径会减少1/f。

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