代数曲线

在代数几何中，一条代数曲线是一维的代数簇。最典型的例子是射影平面 P 2 {displaystyle mathbb {P} ^{2}} 上由一个齐次多项式 f ( X , Y ) {displaystyle f(X,Y)} 定义的零点。定义在域 F {displaystyle F} 上的仿射代数曲线可以看作是 F n {displaystyle F^{n}} 中由若干个 n {displaystyle n} -元多项式 g i ∈ F [ x 1 , … , x n ] {displaystyle g_{i}in F} 定义的公共零点，使得其维数为一。利用结式，我们可以将变数消至两个，并化约到与之双有理等价的平面代数曲线 f ( x , y ) = 0 {displaystyle f(x,y)=0} ，其中 f ∈ F [ x , y ] {displaystyle fin F} ，因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化，它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程 g i = 0 {displaystyle g_{i}=0} （ i = 1 , … , n − 1 {displaystyle i=1,ldots ,n-1} ）中，我们作代换：遂得到 n − 1 {displaystyle n-1} 个齐次多项式，它们在射影空间 P F n {displaystyle mathbb {P} _{F}^{n}} 中定义一条曲线，此射影曲线与开集 U 0 := { ( X 0 : ⋯ : X n ) | X 0 ≠ 0 } {displaystyle U_{0}:={(X_{0}:cdots :X_{n})|X_{0}neq 0}} 的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括 P Q 3 {displaystyle mathbb {P} _{mathbb {Q} }^{3}} 中的费马曲线 X n + Y n + Z n = 0 {displaystyle X^{n}+Y^{n}+Z^{n}=0} ，其上的有理点对应到费马方程 X n + Y n = Z n {displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}} 的互素整数解。代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究，后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域 F {displaystyle F} 上的函数域 K {displaystyle K} 是超越次数为一的有限型域扩张，换言之：存在元素 x ∈ K {displaystyle xin K} 使得 x {displaystyle x} 在 F {displaystyle F} 上超越，而且 K / F ( x ) {displaystyle K/F(x)} 是有限扩张。以复数域 C {displaystyle mathbb {C} } 为例，我们可以定义复系数有理函数域 C ( x ) {displaystyle mathbb {C} (x)} 。变元 x , y {displaystyle x,y} 对代数关系 y 2 = x 3 − x − 1 {displaystyle y^{2}=x^{3}-x-1} 生成的域 C ( x , y ) {displaystyle mathbb {C} (x,y)} 是一个椭圆函数域，代数曲线 { ( x , y ) ∈ C 2 : y 2 = x 3 − x − 1 } {displaystyle {(x,y)in mathbb {C} ^{2}:y^{2}=x^{3}-x-1}} 给出它的一个几何模型。若基域 F {displaystyle F} 非代数封闭域，则函数域无法只由多项式的零点描述，因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域 F := R {displaystyle F:=mathbb {R} } 并考虑其上的代数曲线 x 2 + y 2 + 1 = 0 {displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0} ，此方程定义了一个 R [ x ] {displaystyle mathbb {R} } 的有限扩张，因而定义了一个函数域，然而代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者环上的曲线论，概形论能提供较合适的框架。复射影曲线可以嵌入 n {displaystyle n} 维复射影空间 C P n {displaystyle mathbb {C} P^{n}} 。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面，则可以采复分析手法加以研究。另一方面，黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。于是我们有三个相互等价的范畴：复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与 C {displaystyle mathbb {C} } 上的函数域。因此一维复分析（包括位势论）、代数几何与域论的方法此时能相互为用，这是高等数学里很常见的现象。N-1n+1=0曲线在一点 P {displaystyle P} 的平滑性可以用雅可比矩阵判断。以下考虑嵌于 P n {displaystyle mathbb {P} ^{n}} 中的曲线：设该曲线由 n − 1 {displaystyle n-1} 个 n + 1 {displaystyle n+1} 个变元的齐次多项式 g 1 , … , g n − 1 {displaystyle g_{1},ldots ,g_{n-1}} 定义，若其雅可比矩阵 ( ∂ g i ∂ x j ) i , j {displaystyle left({frac {partial g_{i}}{partial x_{j}}}right)_{i,j}} 在区线上一点 P {displaystyle P} 满秩，则称它 P {displaystyle P} 点光滑；反之则称为奇点。在一点的平滑性与多项式 g 1 , … , g n − 1 {displaystyle g_{1},ldots ,g_{n-1}} 的选取无关，也与曲线的嵌入方式无关。在平面射影曲线的例子，假设曲线 C {displaystyle C} 由齐次方程式 f ( x , y , z ) = 0 {displaystyle f(x,y,z)=0} 定义，则 C {displaystyle C} 的奇点恰为 C {displaystyle C} 上使得 ∇ f {displaystyle nabla f} 为零的点，即：在特征非零的域上，一条代数曲线仅有有限个奇点；无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点；事实上，奇点总是可借着平面的拉开映射或正规化解消，由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线；然而对代数封闭域上的射影曲线，其奇点总数则关系到曲线的几何亏格，后者是个双有理不变量。曲线的奇点包括多重点（这是曲线的自交点）及尖点（如仿射曲线 x 3 = y 2 {displaystyle x^{3}=y^{2}} 之于原点 ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} ，见右图）等等。一般来说，仿射平面曲线 f ( x , y ) = 0 {displaystyle f(x,y)=0} 在一点 P {displaystyle P} 的奇点性质可以透过下述方式理解：透过平移，不妨假设 P = ( 0 , 0 ) {displaystyle P=(0,0)} 。将多项式 f ( x , y ) {displaystyle f(x,y)} 写成其中 f n ( x , y ) {displaystyle f_{n}(x,y)} 是 n {displaystyle n} 次齐次多项式。直观地想像， f ( x , y ) = 0 {displaystyle f(x,y)=0} 在原点附近的性状仅决定于最低次的非零项，设之为 f m ( x , y ) {displaystyle f_{m}(x,y)} 。根据齐次性可以将之分解成换言之，曲线在原点附近将近似于 m {displaystyle m} 条（含重复）直线 a i x − b i y = 0 {displaystyle a_{i}x-b_{i}y=0} 的联集。上式中相异的直线数 r {displaystyle r} 称作分支数，正整数 m {displaystyle m} 称作平面曲线在该点的重数，此外还有一个内在的不变量 δ P := dim ⁡ O C ~ , P / O C , P {displaystyle delta _{P}:=dim {mathcal {O}}_{{tilde {C}},P}/{mathcal {O}}_{C,P}} ，其中 C ~ → C {displaystyle {tilde {C}}rightarrow C} 是该曲线的正规化态射。资料能够被用来分类奇点。例如一般尖点对应到 [ 2 , 1 , 1 ] {displaystyle } ，一般双重点对应到 [ 2 , 1 , 2 ] {displaystyle } ，而一般n重点则对应到 [ n , n ( n − 1 ) 2 , n ] {displaystyle } 。各奇点的不变量δP决定平面曲线 f ( x , y ) = 0 {displaystyle f(x,y)=0} 的亏格：设 deg ⁡ f = d {displaystyle deg f=d} ，则有对于在复数域上的平面曲线，John Milnor以拓扑方式定义了不变量μ，称为Milnor数：同样假设 P = ( 0 , 0 ) {displaystyle P=(0,0)} ，在原点附近够小的四维球 B ϵ := { ( x , y ) ∈ C 2 : | x | 2 + | y | 2 < ϵ } {displaystyle B_{epsilon }:={(x,y)in mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}<epsilon }} 内有 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) ⇒ ∇ f ( x , y ) ≠ 0 {displaystyle (x,y)neq (0,0)Rightarrow nabla f(x,y)neq 0} ，此时有连续映射由于 B ϵ − { ( 0 , 0 ) } {displaystyle B_{epsilon }-{(0,0)}} 同伦等价于三维球面 S 3 {displaystyle mathbb {S} ^{3}} ，于是可定义μ为此映射的拓扑次数。μ与前述不变量的关系由下式表明：事实上， { ( x , y ) ∈ C 2 : f ( x , y ) = 0 } ∩ { ( x , y ) ∈ C 2 : | x | 2 + | y | 2 = ϵ } {displaystyle {(x,y)in mathbb {C} ^{2}:f(x,y)=0}cap {(x,y)in mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=epsilon }} 在ε够小时是 { ( x , y ) ∈ C 2 : | x | 2 + | y | 2 = ϵ } ≅ S 3 {displaystyle {(x,y)in mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=epsilon }cong mathbb {S} ^{3}} 中的一个环圈，称作奇点环圈，它具有复杂的拓扑性质。例如： x 3 = y 2 {displaystyle x^{3}=y^{2}} 在尖点附近的奇点环圈是三叶结。域 F {displaystyle F} 上的有理曲线是双有理等价于射影直线 P F 1 {displaystyle mathbb {P} _{F}^{1}} 的曲线，换言之，其函数域同构于单变元有理函数域 F ( t ) {displaystyle F(t)} 。当 F {displaystyle F} 代数封闭时，这也等价于该曲线之亏格为零，对一般的域则不然；实数域上由 x 2 + y 2 + 1 = 0 {displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0} 给出的函数域亏格为零，而非有理函数域。具体地说，一条有理曲线是能以有理函数参数化的曲线，例子请见条目有理正规曲线。任何 F {displaystyle F} 上有有理点的圆锥曲线都是有理曲线。参数化的过程如下：过给定有理点 P {displaystyle P} 而斜率为 t {displaystyle t} 的直线交平面上一条二次曲线于两点，就x坐标来说，交点的x坐标是一个二次多项式的根，其中一个属于 F {displaystyle F} 的根已知，即 P {displaystyle P} 的x坐标；因此透过根与系数的关系得知另一根也属于 F {displaystyle F} ，而且能表作 t {displaystyle t} 在 F {displaystyle F} 上的有理函数。y坐标的作法相同。例。考虑斜椭圆 E : x 2 + x y + y 2 = 1 {displaystyle E:x^{2}+xy+y^{2}=1} ，其中 ( − 1 , 0 ) {displaystyle (-1,0)} 是有理点。画一条过该点且斜率为t之直线 y = t ( x + 1 ) {displaystyle y=t(x+1)} ，并带入E的等式，于是得到：这就给出E的有理参数化，于是证明了E是有理曲线。将此结果置于射影几何的框架下，则能导出若干数论的结论。例如我们可在E中加入无穷远点，得到射影曲线以上参数化遂表为若取 t {displaystyle t} 为整数，对应的 X , Y , Z {displaystyle X,Y,Z} 是不定方程 X 2 + X Y + Y 2 = Z 2 {displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}} 的整数解；若将 X {displaystyle X} 代以 − X {displaystyle -X} ，则此方程诠释为θ=60°时的余弦定理，借此能描述所有一角为 60°且边长均为整数的三角形，例如取 t = 2 {displaystyle t=2} ，就得到边长分别为X=3, Y=8, Z=7的三角形。椭圆曲线可以定义为任意亏格等于一且给定一个有理点的代数曲线，它们都同构于平面上的三次曲线。此时通常取无穷远处的反曲点为给定的有理点，这时该曲线可以写作射影版本的Tate-魏尔施特拉斯形式：椭圆曲线带有唯一的阿贝尔群结构，使得给定有理点为单位元素，且加法为代数簇的态射，因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形，三点和为零当且仅当它们共线。对于复数域上的椭圆曲线，此阿贝尔簇同构于 C / Λ {displaystyle mathbb {C} /Lambda } ，其中的 Λ {displaystyle Lambda } 由相应的椭圆函数给出。对亏格大于一的曲线，其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据Faltings定理，定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点；若视为黎曼曲面，它们则带有双曲几何的结构。例子包括超椭圆曲线（英语：Hyperelliptic curve）、克莱因四次曲线（英语：Klein quartic）与一开始提到的费马曲线（英语：Fermat curve）在 n ≥ 4 {displaystyle ngeq 4} 的情形。