圆周率

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} }正数 R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {displaystyle mathbb {N} } 正整数 Z + {displaystyle mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {displaystyle mathbb {Q} } 代数数 A {displaystyle mathbb {A} } 实数 R {displaystyle mathbb {R} } 复数 C {displaystyle mathbb {C} } 高斯整数 Z [ i ] {displaystyle mathbb {Z} }负数 R − {displaystyle mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {displaystyle mathbb {Z} } 负整数 Z − {displaystyle mathbb {Z} ^{-}} 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 I {displaystyle mathbb {I} } 二次无理数 艾森斯坦整数 Z [ ω ] {displaystyle mathbb {Z} }二元数 四元数 H {displaystyle mathbb {H} } 八元数 O {displaystyle mathbb {O} } 十六元数 S {displaystyle mathbb {S} } 超实数 ∗ R {displaystyle ^{*}mathbb {R} } 大实数 上超实数双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数素数 P {displaystyle mathbb {P} } 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值规矩数 可定义数 序数 超限数 '"`UNIQ--templatestyles-00000015-QINU`"' p进数 数学常数圆周率 π = 3.141592653 … {displaystyle pi =3.141592653dots } 自然对数的底 e = 2.718281828 … {displaystyle e=2.718281828dots } 虚数单位 i = − 1 {displaystyle i={sqrt {-1}}} 无穷大 ∞ {displaystyle infty }圆周率是一个数学常数，为一个圆的周长和其直径的比率，近似值约等于3.14159265358979，拼写为“pi”。因为 π {displaystyle pi } 是一个无理数，所以它不能用分数完全表示出来（即它的小数部分是一个无限不循环小数）。当然，它可以用像 22 7 {displaystyle {frac {22}{7}}} 般的有理数的近似值表示。 π {displaystyle pi } 的数字序列被认为是随机分布的，有一种统计上特别的随机性，但至今未能证明。此外， π {displaystyle pi } 还是一个超越数——它不是任何有理数系数多项式的根。由于 π {displaystyle pi } 的超越性质，化圆为方的问题不可能用尺规作图解决。几个文明古国在很早就需要计算出 π {displaystyle pi } 的较精确的值以便于生产中的计算。公元5世纪时，南朝宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间，印度的数学家也将圆周率计算到小数点后5位。历史上首个 π {displaystyle pi } 的精确无穷级数公式（即π的莱布尼茨公式）直到约1000年后才由印度数学家发现。在20和21世纪，由于计算机技术的快速发展，借助计算机的计算使得 π {displaystyle pi } 的精度急速提高。截至2015年， π {displaystyle pi } 的十进制精度已高达1013位。当前人类计算 π {displaystyle pi } 的值的主要目的是为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法，因为几乎所有的科学研究对 π {displaystyle pi } 的精度要求都不会超过几百位。:17因为 π {displaystyle pi } 的定义中涉及圆，所以 π {displaystyle pi } 在三角学和几何学的许多公式，特别是在圆形、椭球形或球形相关公式中广泛应用。由于 π {displaystyle pi } 用于特征值这一特殊作用，它也在一些数学和科学领域（例如数论和统计中计算数据的几何形状）中出现，也在宇宙学，热力学，力学和电磁学中有所出现。 π {displaystyle pi } 的广泛应用使它成为科学界内外最广为人知的常数之一。人们已经出版了几本专门介绍 π {displaystyle pi } 的书籍，圆周率日（3月14日）和 π {displaystyle pi } 值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外，背诵 π {displaystyle pi } 值的世界记录已经达到100,000位的精度。数学家用小写希腊字母 π {displaystyle pi } 表示圆周和其直径之比，有时也将其拼写为pi，这来自于希腊语“περίμετρος”（周长）的首字母。在英语中， π {displaystyle pi } 的发音与英文单词“pie”（/paɪ/，西式馅饼）相同。在数学中， π {displaystyle pi } 的小写字母（或者是其无衬线体）要和表示连乘积的大写形式Π相区分开。关于为何选择符号 π {displaystyle pi } 的原因，请参见π符号的引入一节。π {displaystyle pi } 常用定义为圆的周长 C {displaystyle C} 与直径 d {displaystyle d} 的比值：:8无论圆的大小如何，比值 C d {displaystyle {frac {C}{d}}} 为恒值。如果一个圆的直径变为原先的二倍，它的周长也将变为二倍，比值 C d {displaystyle {frac {C}{d}}} 不变。当前 π {displaystyle pi } 的定义隐性地使用了欧几里得几何中的一些定理，虽然一个圆的定义可以扩展到任意曲面（即非欧几里得几何），但这些圆将不再符合定律 π = C d {displaystyle pi ={frac {C}{d}}} 。这里，圆的周长指其圆周的弧长，弧长这一概念可以不依赖几何学————而是使用微积分学中的极限来定义。例如，若想计算笛卡儿坐标系中单位圆 x 2 + y 2 = 1 {displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 上半部分的弧长，需要用到积分：上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对 π {displaystyle pi } 的积分定义。这些依赖于周长，且隐性地依赖积分的 π {displaystyle pi } 的定义，如今在文献中并不常见。雷默特（Remmert（1991））解释说这是因为在现代微积分教学中，大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前，所以不依赖于后者的 π {displaystyle pi } 的定义就很有必要了。其中一种定义，由理查·巴尔策（英语：Richard Baltzer）提出，由爱德蒙·兰道推广，其表述如下： π {displaystyle pi } 是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数定义，或者使用微分方程的解来定义。在相似的启发下， π {displaystyle pi } 可以用关于复变量 z {displaystyle z} 的复指数函数 exp ⁡ ( z ) {displaystyle exp(z)} 来定义。复指数类似余弦函数，可透过多种方式定义。令函数 exp ⁡ ( z ) {displaystyle exp(z)} 值为一的复数集合是一个如下所示的（虚）算数过程：并且其中包括一个独特的正实数 π {displaystyle pi } 。一个基于同样想法，但更为抽象的定义运用了精巧的拓扑学和代数学概念，用以下定理描述：存在一个唯一的从加法模数整数组成的实数群 R/Z 到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态（拓扑学概念，指在拓扑空间之间的一种态射）。数字 π {displaystyle pi } 被定义为此同态派生的模的一半。在给定的周长的条件下，圆会围成最大的面积，因此 π {displaystyle pi } 的表述同样为等周不等式中出现的常数（乘四分之一）。此外，在很多其他紧密相关的方程中， π {displaystyle pi } 作为某些几何或者物理过程的特征值出现；详见下文。π {displaystyle pi } 是个无理数，也就是说， π {displaystyle pi } 无法表示成两个整数之比的形式（形如 22 7 {displaystyle {frac {22}{7}}} 的分数常用来近似表达 π {displaystyle pi } ，但是没有任何普通分数（指整数的比）可以取到 π {displaystyle pi } 的精确值）。:5由于 π {displaystyle pi } 是无理数，故可表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数（英语：proof that π is irrational），这些证明也都要用到微积分学和反证法。人们还无法准确得知 π {displaystyle pi } 可以用有理数来近似的程度（称为无理性度量），不过估计其无理性度量比e或ln(2)的要大，但是小于刘维尔数的无理性度量。人们通过统计随机性（英语：statistical randomness）检验，包括正规数的检验，验证了 π {displaystyle pi } 的位数没有明显的固定模式。因此， π {displaystyle pi } 的小数中任意固定长度的序列（例如3位数字的000,001……999）出现概率都相同。不过有关π是正规数的猜想既无证明，亦无证伪:22-23。电脑的出现使得人们可以生成大量π的不同位数，并进行统计分析。金田康正针对π的十进制数字进行了详细的统计分析，并验证了其分布的正规性：例如，将出现0到9十个数字的频率进行假设检定，找不到有特定重复规律的证据:22, 28–30。根据无限猴子定理，任何任意长度，由随机内容组成的子序列都有可能看起来像不随机产生的。因此，就算π的小数序列通过了随机性统计测试，其中也可能有几位的数字看起来似有规律可循而非随机数，例如π的十进制写法中，自第762位小数后开始出现了连续六个的9:3。π {displaystyle pi } 不仅是个无理数，还是一个超越数，即 π {displaystyle pi } 不是任何一个有理数系数多项式的根。（比方说，试图通过解有限项方程 x 5 120 − x 3 6 + x = 0 {displaystyle {frac {x^{5}}{120}}-{frac {x^{3}}{6}}+x=0} ，来求得 π {displaystyle pi } 的值。）π {displaystyle pi } 的超越性衍生出了一些重要的结果： π {displaystyle pi } 不能通过有理数经有限次四则运算和开平方运算来获得，因此 π {displaystyle pi } 不是规矩数。换言之，利用尺规作图作不出长度为 π {displaystyle pi } 的线段，也就不可能用尺规方法做出一个与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圆为方问题，该问题早在古典时代即已提出，曾困扰人们数千年之久。直至今天，依然有民间数学爱好者声称他们解决了这一问题。像所有的无理数一样， π {displaystyle pi } 无法表示成一个分数。但是每一个无理数，包括 π {displaystyle pi } ，都能表示成一系列叫做连分数的连续分数形式：在这个连分数的任意一点截断化简，都能得到一个π的近似值；前四个近似值是：3， 22 7 {displaystyle {frac {22}{7}}} ， 333 106 {displaystyle {frac {333}{106}}} ， 355 113 {displaystyle {frac {355}{113}}} 。这些数在历史上是 π {displaystyle pi } 最广为人知且广为使用的几个近似值。用以上方式得出的 π {displaystyle pi } 的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近π。由于 π {displaystyle pi } 是一个超越数，据超越数定义来说它不是代数数，又因此不可能是一个二次无理数；是故 π {displaystyle pi } 不能表示为循环连分数。尽管 π {displaystyle pi } 的简单连分数没有表现出任何其他明显规律，数学家们发现了数个广义连分数能表示 π {displaystyle pi } ，例如：圆周率近似值包括：其他进位制中的近似值任何复数（以 z {displaystyle z} 为例）都可以表示为一组实数对：在极坐标系中，一个实数 r {displaystyle r} 用来表示半径，代表复平面上复数 z {displaystyle z} 离原点的距离；另一个实数 φ {displaystyle varphi } 则用来表示夹角，即这条半径（复平面上复数 z {displaystyle z} 与原点的连线）与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来， z {displaystyle z} 就可写成在复分析中，欧拉公式将三角函数与复指数函数糅合在一起：欧拉公式确立了 e {displaystyle e} 的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系，而且当 φ = π {displaystyle varphi =pi } 时，欧拉公式就能改写为欧拉恒等式的形式：欧拉等式亦可用于求出方程 z n = 1 {displaystyle z^{n}=1} 的 n {displaystyle n} 个不同的复数根（这些根叫做 n n {displaystyle ^{n}n} 次单位根”），可以根据以下公式求得：π {displaystyle pi } 经常出现在和几何相关的问题之中。然而，在不少和几何无关的问题中也可以看到 π {displaystyle pi } 的身影。π {displaystyle pi } 在许多的应用中都会以特征值的形式出现。例如理想的振动弦（英语：vibrating string）问题可以建模为函数 f {displaystyle f} 在单位区间 [ 0 , 1 ] {displaystyle } 的图形，固定边界值为 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 {displaystyle f(0)=f(1)=0} 。弦振动的模态会是微分方程的 f n ( x ) + λ 2 f ( x ) = 0 {displaystyle f^{n}(x)+lambda ^{2}f(x)=0} ，此处λ是相关的特征值。受施图姆-刘维尔理论限制， λ {displaystyle lambda } 只能是一些特定的数值。而 λ = π {displaystyle lambda =pi } 即为一个特征值，因为函数 f ( x ) = sin ⁡ ( π x ) {displaystyle f(x)=sin(pi x)} 满足边界条件及微分方程 λ = π {displaystyle lambda =pi } 。π {displaystyle pi } 是上述方程中最小的特征值，也和弦振动的基本模式（英语：fundamental mode）有关。一个让弦振动的方式是提供弦能量，能量会满足一个不等式，维尔丁格函数不等式（英语：Wirtinger's inequality for functions），其中提到若函数 f : [ 0 , 1 ] → C {displaystyle f:rightarrow mathbb {C} } 使得 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 {displaystyle f(0)=f(1)=0} ，且 f {displaystyle f} 和 f ′ {displaystyle f'} 都是平方可积函数，则以下的不等式成立：此例中等号成立的条件恰好是 f {displaystyle f} 为 sin ⁡ ( π x ) {displaystyle sin(pi x)} 倍数的时候。因此 π {displaystyle pi } 似乎是维尔丁格不等式的最佳常数，因此也是最小的特征值（根据雷利商数（英语：Rayleigh quotient）的计算方式）π {displaystyle pi } 在更高维度的分析中也有类似的角色，出现在其他类似问题的特征值中。就如以上所述， π {displaystyle pi } 的一个特点是等周定理中的最佳常数：周长为 P {displaystyle P} 的平面若尔当曲线，所围面积 A {displaystyle A} 满足以下的不等式等号成立的条件是曲线为一圆形，因为 A = π r 2 {displaystyle A=pi r^{2}} 及 P = 2 π r {displaystyle P=2pi r} .。圆周率 π {displaystyle pi } 也和庞加莱不等式的最佳常数有关， π {displaystyle pi } 是一维及二维的狄氏能量（英语：Dirichlet energy）特征向量最佳值中，最小的一个，因此 π {displaystyle pi } 会出现在许多经典的物理现象中，例如经典的位势论。其一维的情形即为Wirtinger不等式 。圆周率π也是傅里叶变换的一个重要常数，傅里叶变换属于积分变换，将一个在实数线上的一个有复数值，可积分的函数，转换为以下的型式：傅里叶变换有几种不同的写法，但不论怎么写，傅里叶变换及反傅里叶变换中，一定会有某处出现 π {displaystyle pi } 。不过上述的定义是最经典的，因为其描述了 L2空间中唯一的幺正算符，也是 L 1 {displaystyle L^{1}} 空间到 L ∞ {displaystyle L^{infty }} 空间的代数同态。不确定性原理中也有出现 π {displaystyle pi } 这个数字。不确定性原理提出了可以将一个函数在空间及在频域中局部化程度的下限，利用傅里叶转换的方式表示：物理的结果，有关量子力学中同时观测位置及动量的不确定性，见下文。傅里叶分析中π的出现是史东–冯纽曼定理（英语：Stone–von Neumann theorem）的结果，证实了海森伯群的薛定谔表示（英语：Schrödinger representation）的唯一性。高斯积分是对高斯函数 e − x 2 {displaystyle e^{-x^{2}}} 在整条实轴上的积分，即函数下方与X轴围成的面积，其结果为 π {displaystyle {sqrt {pi }}} ，此积分的计算可以先计算 f ( x ) = e − x 2 {displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} 对整条实轴的积分的平方，通过转换笛卡尔坐标系为极坐标系从而求得其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为 f ( x ) = a exp ⁡ − ( x − b ) 2 2 c 2 {displaystyle f(x)=aexp {frac {-(x-b)^{2}}{2c^{2}}}} ，求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求 f ( x ) = e − x 2 {displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} 的积分。另外，当高斯函数为以下形式时，它则是平均数为 μ {displaystyle mu } 和标准差为 σ {displaystyle sigma } 的正态分布的概率密度函数：因为这个函数是一个概率密度函数，函数下方与X轴围成的面积必须为1，令 μ = 0 {displaystyle mu =0} 和 σ = 1 {displaystyle sigma =1} 即可变换得出 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}},dx={sqrt {pi }}} 。概率论与统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型：例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布。概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及 π {displaystyle pi } 的核心作用，这个定理本质上是联系着 π {displaystyle pi } 的谱特征与海森堡不确定性原理相关的特征值，并且在不确定性原理中有这里的 σ x {displaystyle sigma _{x}} 与 σ p {displaystyle sigma _{p}} 分别为位置与动量的标准差， ℏ {displaystyle hbar } 是约化普朗克常数，而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立。同样地， π {displaystyle pi } 作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换，此时的高斯函数形式为 f ( x ) = e − π x 2 {displaystyle f(x)=e^{-pi x^{2}}} 。根据豪（Howe）的说法，建立傅里叶分析基本定理的“全部工作（whole business）”简化为高斯积分。圆周率在远古时期（公元前一千纪）已估算至前两位（“3”和“1”）。有些埃及学家声称，远至古王国时期时期的古埃及人已经用 22 7 {displaystyle {frac {22}{7}}} 作为圆周率的约数，但这个说法受到了质疑。最早有记载的对圆周率估值在古埃及和巴比伦出现，两个估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一块公元前1900至1600年的泥板（英语：Clay tablet），泥板上的几何学陈述暗示了人们当时把圆周率视同 25 8 {displaystyle {frac {25}{8}}} （等于3.125）。:167埃及的莱因德数学纸草书（鉴定撰写年份为公元前1650年，但抄自一份公元前1850年的文本）载有用作计算圆面积的公式，该公式中圆周率等于 ( 16 9 ) 2 {displaystyle ({frac {16}{9}})^{2}} （约等于3.1605）。:167公元前4世纪的《百道梵书（英语：Shatapatha Brahmana）》中的天文学运算把 339 108 {displaystyle {frac {339}{108}}} （约等于3.139，精确到99.91%）用作圆周率估值。公元前150年前的其他印度文献把圆周率视为 10 {displaystyle {sqrt {10}}} （约等于3.1622）:169。第一个有纪录、严谨计算π数值的算法是透过正多边形的几何算法，是在公元前250年由希腊数学家阿基米德所发明。:170这个算法使用了有一千年之久，因而有时π亦称阿基米德常数。:175、205阿基米德的算法是在计算圆的外切正六边形及内接正六边形的边长，以此计算 π {displaystyle pi } 的上限及下限，之后再将六边形变成十二边形，继续计算边长……，一直计算到正96边形为止。他根据多边形的边长证明 223 71 < π < 22 7 {displaystyle {frac {223}{71}}<pi <{frac {22}{7}}} （也就是 3.1408 < π < 3.1429 {displaystyle 3.1408<pi <3.1429} ）。阿基米德得到的上限 22 7 {displaystyle {frac {22}{7}}} 也造成一个常见误解，认为 π {displaystyle pi } 就等于 22 7 {displaystyle {frac {22}{7}}} :171。在公元前150年，希腊罗马的科学家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一书中提到π的数值是3.1416，可能来自阿基米德，也可能来自阿波罗尼奥斯。:176数学家在1630年利用多边形的方式计算π到第39位小数，一直到1699年，其他数学家才利用无穷级数的方式打破其纪录，计算到第71位小数。中国历史上， π {displaystyle pi } 的数值有3、3.1547（公元前一世纪）、 10 {displaystyle {sqrt {10}}} （公元前100年，数值约3.1623）及 142 45 {displaystyle {frac {142}{45}}} （第三世纪，数值约3.1556）:176–177。大约在公元265年，曹魏的数学家刘徽创立了割圆术，用3,072边的正多边形计算出π的数值为3.1416。:177刘徽后来又发明了一个较快的算法，利用边数差两倍的正多边形，其面积的差值会形成等比数列，其公比为 1 4 {displaystyle {frac {1}{4}}} 的原理，配合96边形算出 π {displaystyle pi } 的数值为3.14。祖冲之在公元480年利用割圆术计算12,288形的边长，得到 π ≈ 355 113 {displaystyle pi approx {frac {355}{113}}} （现在称为密率），其数值为3.141592920，小数点后的前六位数都是正确值。在之后的八百年内，这都是准确度最高的π估计值。:178为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献，日本数学家三上义夫将这一推算值命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。印度天文学家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亚哈塔历书》中使用了3.1416的数值。:179斐波那契在大约1220年利用独立于阿基米德多边形法，计算出3.1418:180。意大利作家但丁·阿利吉耶里用的数值则是 3 + 2 10 ≈ 3.14142 {displaystyle 3+{frac {sqrt {2}}{10}}approx 3.14142} 。:180波斯天文学家卡西在1424年利用3×228边的多边形，计算到六十进制的第9位小数，相当十进制的第16位小数。这一突破成为当时的纪录，延续了约180年。法国数学家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×217边形计算到第9位小数，佛兰芒数学家阿德里安·范·罗门在1593年计算到第15位小数。荷兰数学家鲁道夫·范·科伊伦在1596年计算到第20位小数，他之后又计算到第35位小数（因此在二十世纪初之前，圆周率在德国会称为鲁道夫数）。:182–183荷兰科学家威理博·司乃耳在1621年计算到第34位小数:183，而奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格（英语：Christoph Grienberger）在1630年用1040边形计算到第38位小数，至今这仍是利用多边形算法可以达到最准确的结果:183。16世纪及17世纪时， π {displaystyle pi } 的计算开始改用无穷级数的计算方式。无穷级数是一组无穷数列的和:185–191。无穷级数让数学家可以计算出比阿基米德以及其他用几何方式计算的数学家更准确的结果。:185–191虽然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·莱布尼茨等欧洲数学家利用无穷数列计算π而使得该方法为大家所知，但这种方法最早是由印度科学家在大约1400到1500年之间发现的。:185-186第一个记载的用无穷级数计算π的人是约公元1500年左右时，印度天文学家尼拉卡莎·萨默亚士（英语：Nilakantha Somayaji）在他的著作《系统汇编（英语：Tantrasamgraha）》中用梵语诗所记录。当时没有这个数列对应的证明，而证明出现在另一本较晚的印度作品《基本原理》，年代约在公元1530年。尼拉卡莎将该数列归功于更早期的印度数学家桑加马格拉马的马德哈瓦（英语：Madhava of Sangamagrama）（ 1350 –  1425）。有许多相关的无穷级数，包括有关 sin {displaystyle sin } 、 tan {displaystyle tan } 及 cos {displaystyle cos } 的，现在称为马德哈瓦数列（英语：Madhava series）或π的莱布尼茨公式。玛达瓦在1400年用无穷级数计算π到第11位小数，但在1430年一位波斯数学家卡西利用多边形算法否定了他算的的结果。欧洲第一个发现的无穷项圆周率公式是无穷乘积（和一般用来计算π的无穷级数不同），由法国科学家弗朗索瓦·韦达在1593年发现:187：约翰·沃利斯在1655年发现了沃利斯乘积，是欧洲第二个发现的无穷项圆周率公式:187：微积分学是由英国科学家艾萨克·牛顿及德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代发明，因此也出现许多计算π的无穷级数。牛顿自己就利用反正弦（ arcsin {displaystyle arcsin } ）数列在1655年或1666年将π近似到第15位小数，后来写到“我很羞愧的告诉你我为了这个计算用了多少个数字，我当时没有做其他的事。”苏格兰数学家詹姆斯·格雷果里在1671年发现了马德哈瓦公式，莱布尼茨也在1674年发现：:188–189这个公式即为格雷果里-莱布尼茨公式，在 z = 1 {displaystyle z=1} 时数值为 π 4 {displaystyle {frac {pi }{4}}} 。1699年时英国数学家亚伯拉罕·夏普用格雷果里-莱布尼茨公式，在 z = 1 3 {displaystyle z={frac {1}{sqrt {3}}}} 时计算，计算到了 π {displaystyle pi } 的第71位小数，打破由多边形算法得到的第39位小数的记录。:189格雷果里-莱布尼茨公式在 z = 1 {displaystyle z=1} 时非常简单，但收敛到最终值的速度非常慢，因此现在不再会用此公式来计算 π {displaystyle pi } 。:156约翰·梅钦（英语：John Machin）在1706年利用格雷果里-莱布尼茨级数产生了一个可以快速收敛的公式：:192–193梅钦用这个公式计算到 π {displaystyle pi } 的第100位小数:72–74后来其他数学家也发展了一些类似公式，现在称为梅钦类公式，创下了许多计算 π {displaystyle pi } 位数的记录。:72–74在进入电脑时代时，梅钦类公式仍然是个耳熟能详的可以计算 π {displaystyle pi } 的公式，而且在约250年的时间里，很多有关 π {displaystyle pi } 位数的记录都是梅钦类公式所得，比如在1946年时由达尼尔·弗格森（Daniel Ferguson）用这类公式计算到第620位小数，是在没有计算设备辅助下的最佳纪录。:192–196, 2051844年，计算天才扎卡里亚斯·达斯（英语：Zacharias Dase）在德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的要求下以梅钦类公式心算了 π {displaystyle pi } 的200个小数位，并创下纪录。:194-196英国数学家威廉·谢克斯（英语：William Shanks）花了15年的时间计算π到小数707位，不过中间在第528位小数时出错，因此后面的小数也都不正确。:194–196有些π的无穷级数收敛的比其他级数要快，数学家一般会选用收敛速度较快的级数，可以在较少的计算量下计算 π {displaystyle pi } ，且达到需要的准确度:15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202。以下是π的莱布尼茨公式：:69–72随着一项一项的值加入总和中，只要项次够多，总和最后会慢慢接近 π {displaystyle pi } 。不过此数列的收敛速度很慢，要到500,000项之后，才会精确到 π {displaystyle pi } 的第五小数。尼拉卡莎在15世纪发展了另一个 π {displaystyle pi } 的无穷级数，其收敛速度较格雷果里-莱布尼茨公式要快很多，该级数为：以下比较二个级数的收敛速率：计算前5项后，格雷果里-莱布尼茨级数的和跟 π {displaystyle pi } 的误差为0.2，而尼拉卡莎级数和的误差为0.002。尼拉卡莎级数收敛的快很多，因此也比较适合用来计算 π {displaystyle pi } 的数值。收敛更快的级数有梅钦类公式及楚德诺夫斯基算法，后者每计算一项就可以得到14位正确的小数值数。并非所有和 π {displaystyle pi } 有关的研究都旨在提高计算它的准确性。1735年，欧拉解决了巴塞尔问题，因而建立了所有平方数倒数和与 π {displaystyle pi } 的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式，得到了 π {displaystyle pi } 、素数的重要关联，对日后黎曼ζ函数的研究影响深远。1761年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯利用正切函数的无穷连分数表达式证明（英语：Proof that π is irrational）了 π {displaystyle pi } 是无理数。:51794年，法国数学家阿德里安-马里·勒让德证明了 π 2 {displaystyle pi ^{2}} 也是无理数。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数 α {displaystyle alpha } ， e α {displaystyle e^{alpha }} 都是超越数，该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼-魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式， π {displaystyle pi } 只能是超越数，进而证实了勒让德和欧拉提出的 π {displaystyle pi } 超越性猜想。:196哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出后，经过希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。在用π专指“圆周率”之前，希腊字母即已用于几何概念中:166。威廉·奥特雷德在1647年起在《数学之钥》（Clavis Mathematicae）就已经用 π {displaystyle pi } 及 δ {displaystyle delta } （对应p和d的希腊字母）来表示圆的周长及直径的比例。威廉·琼斯在他1706年出版的《新数学导论》（A New Introduction to the Mathematics）中提到了 π {displaystyle pi } ，是目前已知最早专门用希腊字母 π {displaystyle pi } 表示圆周和其直径比例的人。这个希腊字母的第一次出现，是在书中讨论一个半径为1的圆时，提到“其圆周长的一半（ π {displaystyle pi } ）”。琼斯选用了 π {displaystyle pi } 的原因可能是因为它是希腊文中“周边”一词“περιφέρεια”的第一个字。不过琼斯提到，他的那些有关 π {displaystyle pi } 的算式是出自“真正聪明的约翰·梅钦先生”，因此人们推测在琼斯之前，约翰·梅钦（英语：John Machin）就已经开始使用此希腊字母表示圆周率:166。琼斯是在1706年开始使用此希腊字母，但直到莱昂哈德·欧拉在其1736年出版的《力学（英语：Mechanica）》中开始使用之后，其他的数学家们才纷纷开始用 π {displaystyle pi } 来指代圆周率。在此之前，数字家可能用像c或p之类的字母代表圆周率:166。因为欧拉与欧洲其他数学家之间时常互相写信来往， π {displaystyle pi } 的用法迅速传播开来:166。1748年欧拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了 π {displaystyle pi } ，写道：“为了简洁起见，我们将此数字写为 π {displaystyle pi } ， π {displaystyle pi } 等于半径为1的圆周长的一半。”这个表示方式之后也推展到整个西方世界:166。高斯-勒让德算法：一开始设定迭代计算: a n + 1 = a n + b n 2 b n + 1 = a n b n {displaystyle scriptstyle a_{n+1}={frac {a_{n}+b_{n}}{2}}quad quad b_{n+1}={sqrt {a_{n}b_{n}}}}则π的估计值为二十世纪中期计算机技术的发展、革新再次引发了计算π位数的热潮。美国数学家约翰·伦奇及李维·史密斯在1949年利用桌上型计算机计算到1,120位:205。同年，乔治·韦斯纳（George Reitwiesner）及约翰·冯·诺伊曼带领的团队利用反三角函数（arctan）的无穷级数，通过ENIAC计算到了小数第2,037位，花了70小时的电脑工作时间。这一纪录后来多次由其他透过arctan级数计算出的结果打破（1957年到7480位小数，1958年到第一万位数，1961年到第十万位小数），直到1973年，人们计算出了小数点后的第一百万位小数:197。1980年代的两项发明加速了 π {displaystyle pi } 的计算。第一项是人们发现了新的的迭代法去计算π的值，其计算速度比无穷级数会要快很多。另一项是人们发现了可以快速计算大数字乘积的乘法算法（英语：Multiplication algorithm）:15–17。这类算法在现代π的计算上格外的重要，因为电脑大部分的工作时间都是在计算乘法:131。这类算法包括Karatsuba算法、Toom–Cook乘法（英语：Toom–Cook multiplication）及以傅里叶变换为基础的乘法算法（傅里叶乘法）:132, 140。迭代算法最早是在1975年至1976年间分别由美国物理学家尤金·萨拉明（英语：Eugene Salamin (mathematician)）及奥地利科学家理查·布兰特（英语：Richard Brent (scientist)）独立提出:87。这两个算法没有依赖无穷级数来计算。迭代会重复一个特定的计算，将前一次的计算结果作为这一次的输入值，使得计算结果渐渐的趋近理想值。此方式的原始版本其实是在160年前由卡尔·弗里德里希·高斯提出，现在称为算术-几何平均数算法（AGM法）或高斯-勒让德算法:87。因为萨拉明及布兰特都曾对此进行修改，因此这个算法也称为萨拉明-布兰特算法。迭代算法因为收敛速度比无穷级数快很多，在1980年代以后广为使用。无穷级数随着项次的增加，一般来说正确的位数也会增加几位，但迭代算法每多一次计算，正确的位数会呈几何级数增长。例如萨拉明-布兰特算法每多一次计算，正确位数会是之前的二倍。1984年加拿大人乔纳森·波温（英语：Jonathan Borwein）及彼得·波温（英语：Peter Borwein）提出一个迭代算法，每多一次计算，正确位数会是之前的四倍，1987年时有另一个迭代算法，每多一次计算，正确位数会是之前的五倍。日本数学家金田康正使用的算法在1955年及2002年之间创下了若干个纪录。不过迭代算法的快速收敛也有其代价，因为这个算法需要的内存的大小明显的要比无穷级数要多。一般而言， π {displaystyle pi } 值并不需要过于精确便能够满足大部分的数学运算的需求。按照约尔格·阿恩特（Jörg Arndt）及克里斯托夫·黑内尔（Christoph Haenel）的计算，39个数位已足够运算绝大多数的宇宙学的计算需求，因为这个精确度已能够将可观测宇宙圆周的精确度准确至一个原子大小。 尽管如此，人们仍然是奋力地运算出 π {displaystyle pi } 小数点后的上千甚至上百万个数位:17–19。这一部分是出于人类对打破记录的冲动，因为那些和 π {displaystyle pi } 有关的成就往往成为世界各地的新闻头条。此外，这其中也有一些实际的好处，例如测试超级计算机、测试数值分析算法等（包括高精度乘法算法（英语：Multiplication algorithm#Fast multiplication algorithms for large inputs））。在纯粹数学的领域中，计算 π {displaystyle pi } 的位数也能让人们来评定π的随机性:18。现代计算 π {displaystyle pi } 的程序不仅仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代，人们发现了一些可用来计算 π {displaystyle pi } 的新无穷级数，其收敛速度可与迭代算法媲美，而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱，他在1914年发表了许多与 π {displaystyle pi } 相关的公式，这些公式十分新颖，极为优雅而又颇具数学深度，收敛速度也非常快。:103–104下式即为一例，其中用到了模方程：这个无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列，包括梅钦公式。:104第一位使用拉马努金公式计算 π {displaystyle pi } 并取得进展的是比尔·高斯珀（英语：Bill Gosper），他在1985年算得了小数点后一千七百万位。:104, 206拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河，此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟（英语：Chudnovsky brothers）进一步发展了这类算法。:110–111后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式，如下所示：此公式每计算一项就能得到 π {displaystyle pi } 的约14位数值，因而用于突破圆周率的数位的计算。利用这个公式，楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得 π {displaystyle pi } 小数点后10亿（109）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×1012）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（1013）位。:110–111, 206类似的公式还有拉马努金-佐藤级数（英语：Ramanujan–Sato series）。2006年，加拿大数学家西蒙·普劳夫利用PSLQ整数关系算法（英语：integer relation algorithm）按照以下模版生成了几个计算 π {displaystyle pi } 的新公式：其中 q {displaystyle q} 为 e π {displaystyle pi } ， k {displaystyle k} 是一个奇数， a , b , c {displaystyle a,b,c} 是普劳夫计算出的有理常数。蒙地卡罗方法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法，通过进行大量重复试验计算事件发生的频率，按照大数定律（即当试验次数充分大时，频率充分地接近于概率）可以求得 π {displaystyle pi } 的近似值。 布丰投针问题就是其中一个应用的例子：当一枚长度为 l {displaystyle l} 的针随机地往一个画满间距为 t ( l ≤ t ) {displaystyle tleft(lleq tright)} 的平行线的平面上抛掷 n {displaystyle n} 次， 如果针与平行直线相交了 m {displaystyle m} 次，那么当 n {displaystyle n} 充分大时就可根据以下公式算出 π {displaystyle pi } 的近似值：另一个利用蒙特卡罗方法计算 π {displaystyle pi } 值的例子是随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点，落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似等于 π 4 {displaystyle {frac {pi }{4}}} .:39–40此外，还可以通过进行随机游走试验，并利用蒙特卡罗方法计算 π {displaystyle pi } 值，如抛掷一枚均匀的硬币 N {displaystyle N} 次，并记录正面朝上的次数，所得结果中，正面朝上的次数 n N {displaystyle n_{N}} 服从二项分布且因为硬币均匀，所以N次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量 X k ( k = 1 , 2 , … ) {displaystyle X_{k}left(k=1,2,ldots right)} ，当抛掷结果为正面时 X k = 1 {displaystyle X_{k}=1} 否则为-1，且 X k = ± 1 {displaystyle X_{k}=pm 1} 且取何值具有相同的概率（即，正面朝上和背面朝上的概率相同）。对随机变量 X k ( k = 1 , 2 , … , N ) {displaystyle X_{k}left(k=1,2,ldots ,Nright)} 求和可得设k为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”，即可得到 m − ( N − m ) = k {displaystyle m-left(N-mright)=k} 。对式子进行变换，得 m = N + k 2 {displaystyle m={frac {N+k}{2}}} ，因此可以证明，并且当 N {displaystyle N} 变大时， E ( | W N | ) {displaystyle Eleft(leftvert W_{N}rightvert right)} 的值会渐近于 2 N π {displaystyle {sqrt {frac {2N}{pi }}}} ，因此当 N {displaystyle N} 充分大时可根据以下公式算出 π {displaystyle pi } 的近似值：和其他计算 π {displaystyle pi } 值的方法相比，蒙特卡洛方法收敛速度很慢，而且无论进行多少次实验，都无从得知 π {displaystyle pi } 的估值已经精确到了第几位。因此，当追求速度或精度时，蒙特卡洛方法不适合用来估计 π {displaystyle pi } 。:431995年引入的两个算法开辟了研究 π {displaystyle pi } 的新途径。因为每计算出一位数字，该数就会像流过阀门的水一样不会再出现在后续的计算过程中，这种新进算法叫做阀门算法（英语：spigot algorithm）。:77–84这就与无穷级数及迭代算法形成对比——无穷级数和迭代算法自始至终的每一步计算都会涉及到之前所有步骤计算出的中间值。:77–841995年，美国数学家斯坦·瓦格纳（英语：Stan Wagon）和斯坦利·拉比诺维茨（Stanley Rabinowitz）发明了一种简单的阀门算法:77，其运算速度类似arctan算法，但速度比迭代算法要慢:77。贝利-波尔温-普劳夫公式（BBP）是另一个阀门算法，属于一种位数萃取算法（英语：digit extraction algorithm）。1995年，西蒙·普劳夫等人发现:117, 126–128这个公式和其他的公式不同，可以在十六进制下计算 π {displaystyle pi } 的任意位数小数，而不用计算所有前面的小数位数:117, 126–128。一个十六进制下的数位可计算得到特定一个二进制的数位；想要得到一个八进制数位的话，计算一、两个十六进制小数即可。目前也已发现一些这种算法的变体，不过人们还没有发现针对十进制、可以快速产生特定位数小数数字的位数萃取算法。位数萃取算法的一个重要用途是用来确认声称是计算到 π {displaystyle pi } 小数位数的新记录：若有声称是新纪录的计算结果出现，先将十进制的数值转换到十六进制，再用贝利-波尔温-普劳夫公式，去确认最后的一些位数（用乱数决定），若这些位数都对，人们就能有一定把握认为此计算结果是对的。在1998年到2000年之间，分布式计算计划PiHex（英语：PiHex）利用贝拉公式（贝利-波尔温-普劳夫公式的一种变体）计算 π {displaystyle pi } 的第1015个位元，结果是0:20。在2010年9月，一名雅虎员工利用公司的Apache Hadoop应用程序在上千台电脑上计算 π {displaystyle pi } 在2×1015个数位开始，往后数的256个位元，其第2×1015个位元刚好也是0。由于 π {displaystyle pi } 与圆密切相关, 它出现了许多几何学和三角学的公式中（特别是与圆、球体和椭圆相关的那些）。 此外 π {displaystyle pi } 也出现在其他学科的一些重要公式中，比如统计学、物理学，傅立叶分析和数论的公式。π {displaystyle pi } 出现在基于圆的几何图形（如椭圆、球、圆锥与环面）的面积、体积公式中。下面是一些涉及到 π {displaystyle pi } 的较为常见的公式。上述公式是n 维球的体积与其边界（(n−1) 维球的球面）的表面积的特殊情况，具体将在后文给出解释。描述由圆产生的图形的周长、面积或体积的定积分通常会涉及到 π {displaystyle pi } 。例如，表示半径为1的半圆的面积的积分为：由于 1 − x 2 {displaystyle {sqrt {1-x^{2}}}} 的积分表示上半圆（此处的平方根由勾股定理得出）, 从-1到1的积分 ∫ − 1 x {displaystyle int _{-1}^{x}} 可用来计算计算半圆与 x 轴之间的面积。三角函数要用到角，而数学家们常常用弧度作为角度的单位。 π {displaystyle pi } 在弧度制中起着重要作用，数学家将一个周角，即角度 360°，定义为 2 π {displaystyle 2pi } 弧度。由这条定义可得，角度 180° 等于 π {displaystyle pi } 弧度，角度 1 ∘ = π 180 ∘ {displaystyle 1^{circ }={frac {pi }{180^{circ }}}} 弧度。因此，常用的三角函数的周期为 π {displaystyle pi } 的倍数；例如，正弦和余弦周期为 2 π {displaystyle 2pi } ，对于任何角度 θ {displaystyle theta } 和任何整数 k {displaystyle k} ，都有常数 π {displaystyle pi } 出现在将平面微分几何（英语：differential geometry of surfaces）及其 拓扑学联系起来的高斯-博内定理中。具体来说，如果一个紧曲面Σ的高斯曲率为 K {displaystyle K} ，那么有其中 χ ( Σ ) {displaystyle chi (Sigma )} 是该曲面的欧拉示性数，是一个整数。例如，一个曲率为1（也就是说其曲率半径（英语：radius of curvature）也为1，对于球面而言此时的曲率半径与半径重合）的球面 S {displaystyle S} 的表面积。球面的欧拉特征数可以通过其同源组计算，其结果为2。于是，便得出即为半径为1的球面的表面积公式。常数 π {displaystyle pi } 还出现在拓扑学的许多其他的积分公式中，特别是那些涉及通过陈-韦伊同态的特征类。向量分析是与向量场的性质有关的微积分的分支，并有许多物理应用，例如应用在电磁学中。位于三维笛卡尔坐标系原点的点源 Q {displaystyle Q} 的牛顿位势（英语：Newtonian potential）为表示位于距原点 | x | {displaystyle leftvert {boldsymbol {x}}rightvert } 的单位质量（或电荷）的势能，而 k {displaystyle k} 是维度常数。在这里由 E {displaystyle mathrm {E} } 表示的场可以是（牛顿）引力场或