韦达跳跃

✍ dations ◷ 2025-10-20 00:56:21 #数论

韦达跳越(英语:Vieta jumping)是一个处理数论的证明技巧。通常是藉韦达定理,来对根进行无穷递降法。

韦达跳越在国际奥林匹克数学竞赛(IMO)里是一个相对较新的数论解题技巧,在1988年IMO第一次出了这类的题目,且被认为是当年最难的题目。Arthur Engel 曾写了关于这问题的一段描述:

六名澳洲解题委员会委员没有一人在六小时时限内解出。其中有两名是塞凯赖什·哲尔吉和他老婆,都是有名的解题者和出题者。另外四名是澳洲数论学家。这题被他们标记上双重星号,意味着这题是极难的。经过一长时间的讨论,评审委员仍将他列在该年的最后一题。十一名学生给出了完美的解答。

在十一名学生中,有一名即为知名的菲尔兹奖得主吴宝珠。

标准型韦达跳跃的中心概念是反证法,由下列步骤所组成:

注: ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 的"最小"由一个函数 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 给出,通常可令 f ( x , y ) = x + y {\displaystyle f(x,y)=x+y}

1988 IMO #6 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 是正整数,且 a b + 1 {\displaystyle ab+1} 整除 a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} 。试证 a 2 + b 2 a b + 1 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}} 为完全平方数。

a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 是正整数,且 a b {\displaystyle ab} 整除 a 2 + b 2 + 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+1} ,试证 3 a b = a 2 + b 2 + 1 {\displaystyle 3ab=a^{2}+b^{2}+1}

1988 IMO #6一样可以使用几何解释解出。 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 是正整数,且 a b + 1 {\displaystyle ab+1} 整除 a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} 。试证 a 2 + b 2 a b + 1 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}} 完全平方数。

相关

  • 质子溶剂在化学中,质子溶剂指分子中带有羟基或氨基的溶剂。更加笼统的说,任何可以给出H+的溶剂都可以被叫做质子化溶剂,例如氢氟酸。非质子溶剂则与此相反,不能贡献氢离子。质子溶剂的常
  • 卡诺卡诺(英语:Kano)是尼日利亚第二大城市和卡诺州的首府,2009年人口3,626,068,居民以豪萨族为主,大多是伊斯兰教逊尼派信徒。卡诺是尼日利亚北部的经济中心,2007年11月政府宣布在市内
  • span style=color: white;欧洲社会党/span欧洲社会党(英语:Party of European Socialists,缩写为PES)是一个欧洲政党,其成员是欧盟及周边国家的社会民主主义政党。它是欧洲议会内的一个政党团体,于1992年成立,接替欧洲共同
  • Sox2n/an/an/an/an/an/an/an/an/an/aSRY盒-2(SRY:性别决定区,Sex Determining Region Y),又称“Sox2”(人的Sox2应写为SOX2),是一种对未分化的胚胎干细胞(ESC)、神经干细胞等再生能力以及
  • 双眼竞争双眼竞争(Binocular rivalry)是指进入左眼和右眼中的图像在我们感觉中交替呈现的一种视觉现象。在同一时刻,给两只眼睛呈现差异很大的两幅图像,就会发现我们感觉到的并不是这两
  • 中国铁路Z29型客车中国铁路Z29型客车是中国铁路用于762mm窄轨的客车,主要运用于许郸线客运,随着许郸线开始进行准轨化改造,Z29型客车现已被封存。有两种涂装:深蓝色和橙红色。
  • 伊万·瓦西里耶维奇·斯皮里多诺夫伊万·瓦西里耶维奇·斯皮里多诺夫(俄语:Иван Васильевич Спиридонов,1905年10月10日(23日)-1991年7月7日)他是苏联最高苏维埃联盟院主席、苏联共产党中央
  • 苏应衡苏应衡(1916年-1998年10月21日),男,广东南海人,中华人民共和国胸外科专家,山东医科大学教授,曾任山东省政协副主席,第七、八届全国政协委员。弟弟苏应宽,曾任山东医学院副院长。
  • 木待问木待问(1140年-1212年),字蕴之,永嘉(今浙江温州茶山街道潘山)人,南宋官员。最早居住于问政坊,后徙居枫林。少时师从郑伯熊(郑敷文),聪明好学,为洪迈所赏识,以女妻之。南宋孝宗隆兴元年(1163
  • 实原登实原登,日本动画师、动画演出家。静冈县滨松市出身。中村Production出身,现时加入了Studio Pastoral。人物设计和制作设计均充分呈现原作,在制作《魔法老师》两部OAD时对此显得