群环

在抽象代数中，群环是从一个群 ${\displaystyle G}$ 及交换环 ${\displaystyle R}$ 构造出的环，通常记为 ${\displaystyle R}$ 或 ${\displaystyle RG}$。其定义为：

其上的 ${\displaystyle R}$-线性乘法运算由 ${\displaystyle e_g\cdot <!--\; \cdot \; -->e_h=e_{gh}}$ 给出。${\displaystyle R}$ 对 ${\displaystyle R}$-模的加法与上述乘法形成一个 ${\displaystyle R}$-代数。乘法单位元素为 ${\displaystyle 1:=e_e}$。

最常用的是 ${\displaystyle R=\mathbb{Z}}$ 或 ${\displaystyle R=\mathbb{C}}$ 的群环。对于后者，${\displaystyle \mathbb{C}}$ 成为 ${\displaystyle G}$ 的表示：${\displaystyle s\sum <!--\; \sum \; -->a_g{e}_g=\sum <!--\; \sum \; -->a_g{e}_{sg}}$；若 ${\displaystyle G}$ 为有限群，则称此表示为正则表示。正则表示与有限群的表示理论有密切的联系。

对于无穷阶的群 ${\displaystyle G}$，迄今对群环的结构仍所知甚少。对于局部紧拓扑群，通常采用 ${\displaystyle C_c(G)}$ 或 ${\displaystyle L^1(G)}$ 对折积构成的代数，较有利于研究群的拓扑性质及其表示。