马施克定理

在代数中，马施克定理是有限群表示论中基本的定理之一。

若${\displaystyle V}$是域${\displaystyle K}$上的有限维线性空间，${\displaystyle (V,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})}$是有限群${\displaystyle G}$的表示, ${\displaystyle U_0}$是${\displaystyle V}$的${\displaystyle G}$不变子空间, ${\displaystyle K}$的特征不能整除${\displaystyle G}$的阶，

则存在${\displaystyle V}$中的${\displaystyle G}$不变子空间${\displaystyle W}$，使得${\displaystyle V=W\oplus <!--\; \oplus \; -->U}$，从而${\displaystyle (V,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})}$是完全可约的。

${\displaystyle U_0}$是${\displaystyle V}$的子空间，所以存在${\displaystyle U_0}$在${\displaystyle V}$中的补空间${\displaystyle W_0}$，及投影${\displaystyle P_0}$, ${\displaystyle Q_0}$，使得

${\displaystyle U_0=P_{0}V}$

${\displaystyle W_0=Q_{0}V}$

${\displaystyle P_0^2-<!--\; -\; -->P_0=Q_0^2-<!--\; -\; -->Q_0=P_0{Q}_0=Q_0{P}_0=0}$

${\displaystyle P_0+Q_0=1}$

由条件“${\displaystyle K}$的特征不能整除${\displaystyle G}$的阶”，令${\displaystyle N=|G|}$，则${\displaystyle N}$是域K中的可逆元。

定义新的投影算子

${\displaystyle P=N^{-<!--\; -\; -->1}\underset{g\in <!--\; \in \; -->G}{\sum <!--\; \sum \; -->}g{P}_0{g}^{-<!--\; -\; -->1}}$

${\displaystyle Q=N^{-<!--\; -\; -->1}\underset{g\in <!--\; \in \; -->G}{\sum <!--\; \sum \; -->}g{Q}_0{g}^{-<!--\; -\; -->1}}$

则

${\displaystyle P+Q=1}$

${\displaystyle P^2=P}$

${\displaystyle Q^2=Q}$

${\displaystyle PQ=QP=0}$

于是

${\displaystyle V=U\oplus <!--\; \oplus \; -->W}$

其中${\displaystyle U=\text{Im}P}$，${\displaystyle W=\text{Im}Q}$

由${\displaystyle P}$的定义${\displaystyle U=\text{Im}P\subseteq <!--\; \subseteq \; -->U_0}$

另一方面可以直接验证${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}u=P_{0}v\in <!--\; \in \; -->U_0,Qu=Q{P}_{0}v=0}$从而${\displaystyle U_0\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\text{Ker}Q=\text{Im}P=U}$

故${\displaystyle U=U_0}$

${\displaystyle V=U_0\oplus <!--\; \oplus \; -->W}$

注意到${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}g\in <!--\; \in \; -->G,gQ=Qg}$

${\displaystyle W}$是${\displaystyle G}$不变子空间。

证毕。