全同粒子

在量子力学里，全同粒子是一群不可区分的粒子。全同粒子包括基本粒子，像电子、光子，也包括合成的粒子，像原子、分子。

全同粒子可以分为两种类型：

有两种方法可以用来区分粒子。第一种方法倚靠粒子所具有的不同的物理性质，像质量、电荷、自旋等等，假若粒子的性质有任何的不同，则可以借着测量这不同的性质来区分粒子。根据做实验获得的结果，同一种类的粒子都具有完全相同的物理性质，例如，宇宙里所有的电子都拥有同样的电荷。这就是为什么在论述时经常会提到电子的电荷，而不是哪一个电子的电荷。

第二种区分法跟踪每一个粒子的轨道。只要能够无限精确地测量出每一个粒子的位置，就不会搞不清楚哪一个粒子在哪里。这个方法有一个问题，那就是它与量子力学的基本原理相矛盾。根据量子理论，在位置测量期间，粒子并不会保持明确的位置。粒子的位置是由波函数来决定。而波函数只能给予粒子在每一个位置的概率。随着时间演变，几个粒子的波函数会扩散蔓延，互相重叠。一旦重叠事件发生，就无法区分在重叠区域的两个粒子。这样，粒子就越来越不可区分了。

应用量子力学的数学表述条目里的形式论，来做更具体的讲述，为了简易起见，设想一个量子系统，内中有两个全同粒子。因为这两个粒子具有完全相同的物理性质，它们的态矢量的希尔伯特空间完全相同。假若标记一个粒子的希尔伯特空间为 ${\displaystyle H}$ ，则这两个粒子结合的希尔伯特空间是张量乘积 ${\displaystyle H\otimes <!--\; \otimes \; -->H}$ 。

设定 ${\displaystyle n}$ 来标记单独粒子量子态的（离散的）量子数（例如，在盒中粒子问题里，设定 ${\displaystyle n}$ 为波函数的量子化的波数）。假设一个粒子处于量子态 ${\displaystyle |n_1⟩<!--\; ⟩\; -->}$ ，另一个粒子处于量子态 ${\displaystyle |n_2⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。那么，什么是结合系统的量子态？或许猜想答案是

这只是一个正则方法，从单独空间之结合，建构出一个张量乘积空间的基底。设定这表达式的第一个量子态为粒子 1 的量子态，第二个量子态为粒子 2 的量子态。那么，这个表达式意味着可以区分粒子 1 是量子数为 ${\displaystyle n_1}$ 的粒子，粒子 2 是量子数为 ${\displaystyle n_2}$ 的粒子的粒子。可是，量子数不是粒子的内在物理性质。不能做这样的区分。

事实上，实验的结果显示出，全同粒子的量子态是特别种类的多粒子量子态，称为对称态或反对称态。对称态的形式为

反对称态的形式为

其中，等价方程左手边的两个参数是允许的量子数。${\displaystyle S}$ 代表对称态 (symmetric state) ，${\displaystyle A}$ 代表反对称态 (antisymmetric state) ；右手边的括弧内每一个项目的第一个量子态是粒子 1 的量子态，第二个量子态是粒子 2 的量子态。两个量子态的前后顺序很重要：

注意到假若 ${\displaystyle n_1}$ 等于 ${\displaystyle n_2}$ ，则反对称态会给出 0 。这概率幅是实际物理所不允许的。所以，反对称态的两个全同粒子不能处于同样的量子态。这规则就是著名的泡利不相容原理，是造成原子千变万化的化学性质的主要因素。

对称态与反对称态的概念的正确性，最终是建立于实验获得的证据。大自然似乎并不允许全同粒子的量子态具有混合的对称性，像下述公式：

事实上，这个规则有一个例外，稍后，会对这例外有所说明。从另外一方面来看，可以表明对称态与反对称态，就某种意义来说，是很特别的。检视多粒子量子态的一种特别的对称性，称为交换对称性。

定义一个线性算符 ${\displaystyle P}$ ，称为交换算符。当交换算符作用于量子系统的两个粒子时，这两个粒子会互相交换：

原来粒子 1 的量子态是 ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ ，粒子 2 的量子态是 ${\displaystyle |\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。经过 ${\displaystyle P}$ 作用后，粒子 1 与粒子 2 交换。所以粒子 1 的量子态变为 ${\displaystyle |\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ ，而粒子 2 的量子态变为 ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。

算符 ${\displaystyle P}$ 是个厄米算符和幺正算符。因为它是幺正的，可以将它视为一个对称性算符，可以描述这个对称性为粒子量子态的交换对称性：经过 ${\displaystyle P}$ 作用后，粒子 1 的量子态与粒子 2 的量子态交换。

明确地，${\displaystyle P^2=\mathbf{1}}$ （ ${\displaystyle \mathbf{1}}$ 是单位算符）。所以，${\displaystyle P}$ 的本征值为 ${\displaystyle +1}$ 或 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->1}$ 。对应的本征态是对称态与反对称态：

注意到，经过粒子的交换，对称态与反对称态基本上并无改变，它们只被乘以一个因子 ${\displaystyle +1}$ 或 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->1}$ ，而不是被旋转于希伯尔特空间。这证明了粒子的标签并无任何物理意义，这与前面关于不可区分的讲述相符合。

由于 ${\displaystyle P}$ 是个厄米算符，它是一个可观察量。理论上，可以做一个实验测量来查明它到底是对称态，还是反对称态。此外，粒子的全同意味着哈密顿量可以写为对称形式，像

很明显地，交换算符与哈密顿量满足正则对易关系

根据海森堡绘景，这方程表明 ${\displaystyle P}$ 是个运动常数。假若一个量子态本来是对称态（反对称态），随着时间的演变，它仍旧会是对称态（反对称态）。在数学里，态矢量被限制为 ${\displaystyle P}$ 的两个本征态之中的一个；它无法以整个希伯尔特空间为值域范围。因此，可以干脆将本征空间当为这系统的真正的希伯尔特空间。这就是佛克空间 (Fock space) 的定义背后的点子。

粒子的种类决定了它们的量子态是对称态或反对称态。例如，当描述光子、氦-4 原子时，必须用到对称态；而当描述电子、质子时，就必须用到反对称态。

量子态是对称态的粒子称为玻色子。稍后会说明，对于一个许多全同玻色子组成的系统，对称性给予了非常重要的统计性质。这些统计性质称为玻色-爱因斯坦统计。

量子态是反对称态的粒子称为费米子。反对称性造成了泡利不相容原理的产生，使得全同费米子被禁止共处于同样的量子态。费米-狄拉克统计专门描述许多全同费米子组成的系统，

在某些二维系统里，混合对称性也可能发生。这些奇特的粒子被称为任意子 (anyon) 。它们遵守分数统计 (fractional statistics)。分数量子霍尔效应实验的证明了任意子的存在。在形成 MOSFET 反转层的二维电子气体里，也观察到了这种效应。另外有一种统计，称为辫统计 (braid statistics) ，是用来描述许多全同普瑞顿子 (plekton) 组成的系统，

自旋统计理论将全同粒子的交换对称性追溯至它们的自旋。这理论阐明玻色子的自旋是正整数，费米子的自旋是半整数，任意子的自旋是分数。

前面的讲述可以很容易地推广至 ${\displaystyle N}$ 个粒子的案例。设定 ${\displaystyle N}$ 个粒子。再设定 ${\displaystyle N}$ 个量子数为 ${\displaystyle n_i}$ 的单独粒子量子态 ${\displaystyle |n_i⟩<!--\; ⟩\; -->,1\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->N}$ 。设定其中独特的量子数为 ${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_1,{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_L,L\le <!--\; \le \; -->N}$ 。${\displaystyle N_j}$ 代表量子数 ${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_j}$ 出现的次数（简并度）。

假若这些粒子都是玻色子，则描述它们的量子态是完全对称态，对于任何两个粒子的交换，都是对称的：

其中， ${\displaystyle \mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}(N)}$ 代表所有从整数 ${\displaystyle 1}$ 到 ${\displaystyle N}$ 的置换的集合。这集合里面有 ${\displaystyle N!}$ 个元素。因此，公式右边的总合表达式一共有 ${\displaystyle N!}$ 项目，每一个项目的指数 ${\displaystyle p}$ 是置换集合 ${\displaystyle \mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}(N)}$ 的一个元素。指数 ${\displaystyle p}$ 内部第 ${\displaystyle i}$ 个字位 ${\displaystyle p_i}$ 所代表的整数指定粒子 ${\displaystyle i}$ 的量子数 ${\displaystyle n_{p_i}}$ 。平方根系数是一个归一化常数。

假若这些粒子都是费米子，则描述它们的量子态是完全反对称态，对于任何两个粒子的交换，都是反对称的：

其中，${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(p)}$ 是正号或负号。假若元素 ${\displaystyle p}$ 属于偶置换，则是正号；否则即是负号。注意到在这里并没有 ${\displaystyle \underset{j}{\prod <!--\; \prod \; -->}{N}_j!}$ 这个总乘积项目，因为每一个单独粒子量子态只能出现一次；否则，概率幅等于 ${\displaystyle 0}$ 。

这些多粒子量子态方程都已经归一化：

用位置空间的波函数来表示，标记 ${\displaystyle N}$ 个费米子的波函数为 ${\displaystyle {\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{n_1\cdots <!--\; \cdots \; -->n_N}^{(A)}(x_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->x_N)}$ ；其中，${\displaystyle n_1\cdots <!--\; \cdots \; -->n_N}$ 是允许的量子数，波函数的第 ${\displaystyle i}$ 个参数 ${\displaystyle x_i}$ 是粒子 ${\displaystyle i}$ 的位置。将量子数是 ${\displaystyle n_i}$ 的单独粒子波函数标记为 ${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{n_i}}$ 。单独粒子波函数只有一个位置参数 ${\displaystyle x}$ 。这样，${\displaystyle N}$ 个费米子的波函数可以用斯莱特行列式表示

在统计行为上，玻色子与费米子有很重要的差别。玻色子的统计行为是以玻色-爱因斯坦统计来描述，费米子的统计行为则是以费米-狄拉克统计来描述。粗略地说，玻色子喜好凝聚于同样的量子态。因此，造成了激光、玻色-爱因斯坦凝聚、超流体等等量子现象。在另一方面，费米子禁止共同享有同样的量子态，造成了像费米气体、白矮星、中子星等等奇异的系统。这规则称为泡利不相容原理。大多数的化学现象都与这原理有关。在原子里，因为这原理，电子依次地装填一层一层的电子层，而不是全部处于最低能量的量子态。

可区分粒子，玻色子，与费米子在统计行为上有很大的不同。称两个粒子为 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 。每一个粒子都可以处于两个能量相同的量子态，${\displaystyle |0⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 与 ${\displaystyle |1⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。

假若 ${\displaystyle A}$