截面曲率

✍ dations ◷ 2025-08-02 13:41:22 #黎曼几何,曲率

在黎曼几何中,截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率 K ( σ p ) {\displaystyle K(\sigma _{p})} 点的切空间里的一个二维平面 σ p {\displaystyle \sigma _{p}} 点以平面 σ p {\displaystyle \sigma _{p}} 点出发的测地线且这测地线在 p {\displaystyle p} 为黎曼流形,σ 为 上 点处切空间中的二维平面, 和 为 σ 中两个线性无关的向量。则关于 σ 的截面曲率定义为

其中 是 的黎曼曲率张量。

常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量,它们有三种情况

三类几何的模型流形分别是双曲空间,欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形,所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。

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