截面曲率

✍ dations ◷ 2025-05-14 10:24:00 #黎曼几何,曲率

在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率 $K(\sigma _{p})$ 点的切空间里的一个二维平面 $\sigma _{p}$ 点以平面 $\sigma _{p}$ 点出发的测地线且这测地线在 $p {\displaystyle p}$ 为黎曼流形，σ 为上点处切空间中的二维平面，和为 σ 中两个线性无关的向量。则关于 σ 的截面曲率定义为

其中是的黎曼曲率张量。

常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量，它们有三种情况

三类几何的模型流形分别是双曲空间，欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。

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