ARCH模型

ARCH模型（英语：Autoregressive conditional heteroskedasticity model，全称：自回归条件异方差模型），解决了传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设（方差恒定）所引起的问题。这个模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。

传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设：假定时间序列变量的波动幅度（方差）是固定的，不符合实际，比如，人们早就发现股票收益的波动幅度是随时间而变化的，并非常数。这使得传统的时间序列分析对实际问题并不有效。

罗伯特·恩格尔在1982年发表在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中提出了ARCH模型解决了时间序列的波动性（volatility）问题，当时他研究的是英国通货膨胀率的波动性。

以${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t}$表示收益或者收益残差，假设${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_t{z}_t}$，此处${\displaystyle z_t\sim <!--\; \sim \; -->iidN(0,1)}$（即独立同分布，均符合期望为0，方差为1的正态分布）此处序列${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_t^2}$建模为

（其中${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0>0,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i\ge <!--\; \ge \; -->0,i>0}$，即各期收益以非负数线性组合，常数项为正数。

如果方差用ARMA模型来表示，则ARCH模型的变形为GARCH模型（波勒斯勒夫（Bollerslev），1986年）。

GARCH（p，q）模型为

IGARCH模型对GARCH的参数做了限制。IGARCH（p，q）模型可以表示为：

GARCH-M模型把异方差项引入平均数方程式。一个简单的GARCH-M（1，1）模型可以表示为：

残差项${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_t}$定义为：

ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的实证研究中应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（Value at Risk）理论中，在华尔街是人尽皆知的工具。