狭义相对论中的加速度

✍ dations ◷ 2025-06-08 02:57:39 #加速度,狭义相对论

狭义相对论中的加速度类似于牛顿力学中的概念，乃速度对于时间的微分。因为相对论中的洛伦兹转换及时间膨胀，时间与距离的概念变为复杂，因此“加速度”的定义也变得复杂。狭义相对论为平直闵可夫斯基时空的理论，即使加速度存在依然有效，前提是能量动量张量所造成的重力场效应可以忽略。否则，则需用到广义相对论以及弯曲时空来诠释。在地球表面附近，时空弯曲程度不明显，因此实务上采用狭义相对论来诠释物理现象仍是合宜作法，比如粒子加速器实验。

如同在外界惯性坐标系中的测量，三维空间中的普通加速度（称为“三维加速度”或“坐标加速度”）的转换式可以推导得出。此外作为一特例，也可用共动（comoving）的加速规来测量固有加速度。另一种有用的形式是四维加速度，其分量可透过洛伦兹转换在不同参考系中做连结。连结加速度与力的运动方程也可得到。几种特殊形式的加速物体运动方程以及它们的弯曲世界线可以透过对上述方程的积分求得。知名的特例如双曲运动（英语：hyperbolic motion (relativity)），适用于常数值纵向固有加速度的例子，以及等速率圆周运动。最后，在狭义相对论的架构下，描述加速参考系中的物理现象亦为可行。

历史演进上，在相对论发展的早年即已出现包含加速度的相对论性方程，在早年的教科书中有整理，如马克斯·冯·劳厄（1911年、1921年）或沃夫冈·泡利（1921年）。举例来说，运动方程以及加速度转换式于以下学者的论文中建立起来：亨德里克·洛伦兹（1899年、1904年）、儒勒·昂利·庞加莱（1905年）、阿尔伯特·爱因斯坦（1905年）、马克斯·普朗克（1906年）；四维加速度、固有加速度与双曲运动的分析参见赫尔曼·闵可夫斯基（1908年）、马克斯·玻恩（1909年）、古斯塔夫·赫格洛茨（英语：Gustav Herglotz）（1909年）、阿诺·索末菲（1910年）、冯·劳厄（1911年）。

在牛顿力学与狭义相对论中，三维加速度或坐标加速度的定义保持一致。 $\mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)$ $\mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)$ 是速度 $\mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)$ $\mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)$ 对坐标时间的一阶导数，亦即是位置 $\mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\right)$ $\mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\right)$ 对坐标时间的二阶导数：

然而在另一相异的惯性参考系中做三维加速度测量时，两项理论的预测就出现重大歧异。牛顿力学中，时间是绝对的（ $t'=t$ $t'=t$ ），采用的惯性系转换式为伽利略转换。因此，从伽利略转换推导而得的三维加速度在所有惯性系中皆相同：

相反地，在狭义相对论中， $\mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ 与 $t {\displaystyle t}$ $t$ 两者皆与洛伦兹转换相依，因此三维加速度 $\mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ 及其分量在不同惯性系也各不相同。当惯性系间的相对速度是沿着x轴，即 $v=v_{x}$ $v=v_{x}$ （ $\gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ $\gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ 为相对应的洛伦兹因子），洛伦兹转换式为：

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}x'&=\gamma _{v}(x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{aligned}}\end{array}}$ ${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}x'&=\gamma _{v}(x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{aligned}}\end{array}}$

(1a)

或是对于一长度 $v {\displaystyle v}$ $v$ 及任意方向的速度矢量 $\mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)$ $\mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)$ （其中 $|\mathbf {v} |=v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$ $|\mathbf {v} |=v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$ ），洛伦兹转换式为：

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \left\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {\mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf {v} \left\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {\mathbf {r'\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}$ ${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \left\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {\mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf {v} \left\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {\mathbf {r'\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}$

(1b)

为了求得三维加速度的转换式，必须分别对洛伦兹转换式中的空间坐标 $\mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ 及 $\mathbf {r} '$ $\mathbf{r}'$ 做时间 $t {\displaystyle t}$ $t$ 与 $t^{'} {\displaystyle t'}$ $t'$ 的微分。首先是得到三维速度 $\mathbf {u}$ $\mathbf{u}$ 及 $\mathbf {u} '$ $\mathbf {u} '$ 的转换式（亦称为速度加成式）；尔后再次做时间 $t {\displaystyle t}$ $t$ 与 $t^{'} {\displaystyle t'}$ $t'$ 的微分运算而得到三维加速度 $\mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ 及 $\mathbf {a} '$ ${\mathbf {a}}'$ 的转换式。从式(1a)出发，所得到的转换式为平行（x方向）与垂直（y、z方向）于速度 $v=v_{x}$ $v=v_{x}$ 之加速度：

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}a_{x}^{\prime }&={\frac {a_{x}}{\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}^{\prime }&={\frac {a_{y}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{y}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}^{\prime }&={\frac {a_{z}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{z}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {a_{x}^{\prime }}{\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}&={\frac {a_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{y}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}&={\frac {a_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{z}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}\end{array}}$

相关

包皮包皮（英语：Foreskin），一般指包在雄性阴茎龟头上的一层皮，有时也包括女性生殖构造上，包覆阴蒂的阴蒂包皮。包皮在胚胎时期伴随阴茎成长，有保护龟头防止外来伤害的作用。一般在青春期
常丁求常丁求（1967年－），湖南省衡阳县金兰镇泉溪村人，中国人民解放军空军中将。1984年通过招飞入伍，进入飞行基础学校学习。历任空军部队飞行大队长（1996年）、空军航空兵某飞行团团长（2000年
默里·乔蒂纳默里·M·乔蒂纳（英语：Murray M Chotiner，1909年10月4日－1974年1月30日）是一位美国竞选战略家、律师、官员，也是第37任美国总统理查德·尼克松大部分政治生涯期间的亲密伙伴和好友
琳达·麦马汉琳达·玛丽·爱德华-麦克马洪（Linda Marie Edwards-McMahon）（1948年10月4日－），是世界摔角娱乐前任执行长，常常担任公司对外发言的角色，也曾参与剧情的演出。其配偶为公司现任总裁文
荷属安的列斯盾荷属安的列斯盾（荷兰语：Antilliaanse gulden）是现时荷兰王国于加勒比海的两个构成国—库拉索与荷属圣马丁的流通货币。辅币单位为分，1盾=100分。货币编号ANG。荷兰曾于加勒比海
C5a受体n/an/an/an/an/an/an/an/an/an/aC5a受体（英语：C5a receptor或称补体成分5a受体1，complement component 5a receptor 1，C5AR1或CD88，Cluster of Differentiation 88）是一种与补体C5
许天相许天相（1942年6月－），梨园戏演员，工丑行、末行，中国国家级非物质文化遗产梨园戏项目代表性传承人，国家2级演员（副高级职称），福建省梨园戏实验剧团退休艺员。1956年考入梨园戏演员培训班
奥斯瓦尔德熟化奥斯瓦尔德熟化（或奥氏熟化）是一种可在固溶体或液溶胶中观察到的现象，其描述了一种非均匀结构随时间流逝所发生的变化：溶质中的较小型的结晶或溶胶颗粒溶解并再次沉积到较大型的
约翰·巴耳末约翰·雅各布·巴耳末（Johann Jakob Balmer，1825年5月1日－1898年3月12日），又译巴尔末，瑞士数学家、物理学家。主要贡献是建立了氢原子光谱波长的经验公式——巴耳末公式。巴耳末18
各国血型分布下表列出截至2010年，各国的血型分布。 50.0%(含)以上 40.0–49.9% 30.0–39.9% 20.0–29.9% 10.0–19.9% 5.0–9.9%