根资料

在数学的代数群领域中，根资料（原文为法文）是一个连通、分裂、可简约代数群的不变量。对于可简约代数群，根资料是比根系更精细的不变量，若假设连通性，则它决定了代数群的结构（至多差一个同构）。根资料的定义首见于M. Demazure在SGA III中的阐述，于1970年出版。

根资料是一组资料${\displaystyle (X,\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->},X^{\vee <!--\; \vee \; -->},{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\vee <!--\; \vee \; -->})}$，其中：

${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$的元素称作该根资料的根，${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\vee <!--\; \vee \; -->}}$的元素称为余根。

若${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$不包含任意根的两倍，则称此根资料为既约的。

设${\displaystyle X_0:=({\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\vee <!--\; \vee \; -->}{)}^{\perp <!--\; \perp \; -->}}$。若${\displaystyle X_0=\{0\}}$，称此根资料为半单的，

对于根资料${\displaystyle (X,\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->},X^{\vee <!--\; \vee \; -->},{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\vee <!--\; \vee \; -->})}$，取${\displaystyle Q}$为${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$在${\displaystyle X}$中生成的子群，并设${\displaystyle V:=Q{\otimes <!--\; \otimes \; -->}_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}}$；利用对偶性，同样可定义${\displaystyle V^{\vee <!--\; \vee \; -->}}$。可证明${\displaystyle X_0\cap <!--\; \cap \; -->Q=\{0\}}$，${\displaystyle X_0+Q}$在${\displaystyle X}$中的指数为有限的；因此${\displaystyle V^{\vee <!--\; \vee \; -->}}$可视为${\displaystyle V}$的对偶空间。可证明${\displaystyle (V,\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->})}$成为一个根系。

设${\displaystyle G}$是域${\displaystyle K}$上的约化代数群，并具有在${\displaystyle K}$上分裂的极大环面${\displaystyle T}$。定义相应的根资料${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(T,B)=(X,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->},X_{\ast <!--\; \ast \; -->},{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\vee <!--\; \vee \; -->})}$为

代数封闭域上的连通、约化代数群由其根资料决定。反之，给定任一组根资料，存在与之匹配的连通、约化代数群。根资料比根系及丹金图精确，因为它不仅刻划了群的李代数结构，还刻划了群的中心。

给定任一根资料${\displaystyle (X,\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->},X^{\vee <!--\; \vee \; -->},{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\vee <!--\; \vee \; -->})}$，借着将${\displaystyle X,X^{\vee <!--\; \vee \; -->}}$对换，将${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->},{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\vee <!--\; \vee \; -->}}$对换，可以得到新的根资料，称为其对偶。

若${\displaystyle G}$是代数封闭域${\displaystyle K}$上的连通、约化代数群，则根资料的对偶决定了复数域 ${\displaystyle \mathbb{C}}$上唯一的连通、约化、分裂代数群LG，称为${\displaystyle G}$的郎兰兹对偶群。