实变函数论

实分析（英语：real analysis，也称作实变函数论，英语：theory of real variable function）或实数分析是处理实数及实函数的数学分析。专门实数函数及数列的解析特性，包括实数数列的极限，实函数的微分及积分、连续性，光滑性以及其他相关性质。

实分析常以基础集合论，函数概念定义等等开始。

有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理，将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下，可以证明这些公理都是明确的，也就是说有一个公理的模型，任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义，而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。

实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关，这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是，实数形成有序域，实数的有序满足反对称性、传递性及完全性，属于全序关系，而且实数有最小上限属性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。

在实变分析中这些定理只针对实数，不过许多的结果可以应用在其他的数学对象（英语：mathematical object）。特别是许多泛函分析及算子理论（英语：operator theory）中的概念是来自实数中概念的扩展，这类的扩展包括里斯空间（英语：Riesz space）及正算子（英语：positive operator）的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部，例如算子数列的逐点评估（英语：strong operator topology）。

序列是一个定义域为可数全序集合的函数，多半会让定义域是自然数或是所有整数。例如，一个实数的序列为以下定义的映射${\displaystyle a:\mathbb{N}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},n\mapsto <!--\; \mapsto \; -->a_n}$称为函数的定义域。子集的一些可能选择包括${\displaystyle I=\mathit{R}}$和是实数子集，函数${\displaystyle f:X\to <!--\; \to \; -->Y}$（${\displaystyle k}$包括在分类${\displaystyle C^{k-<!--\; -\; -->1}}$都成立。分类${\displaystyle C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$的交集，其中为所有的非负整数。${\displaystyle C^{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}$的宽，则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度${\displaystyle {\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}_{i=1\dots <!--\; \dots \; -->n}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i}$。函数${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle }$内的黎曼积分等于${\displaystyle S}$若：

若选定的标示都是每个区间内函数的最大值（或最小值），黎曼积分就会成为上（或下）达布和，因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。

勒贝格积分是一种积分概念，可以将积分延伸到更大范围的函数，同时也拓展函数的定义域。

分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。

实变函数论是数学分析的一部分，探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数及积分。实变分析专注在实数，多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中，很自然的会对全纯函数定义导数，全纯函数有许多有用的性质，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且满足柯西积分公式。

实变分析中也很自然的去考虑可微、光滑函数或调和函数，这些也常常用到，不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。

复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析，例如应用留数定理来计算实变函数的定积分。

实分析的重要结果包括波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。

实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。