Delta位势垒

在量子力学里，Delta位势垒是一个垒内位势为狄拉克Delta函数，垒外位势为0的位势垒。Delta位势垒问题专门研讨，在这种位势的作用中，一个移动的粒子的量子行为。我们想要知道的是，在被Delta位势垒散射的状况下，粒子的反射系数与透射系数。在许多量子力学的教科书里，这是一个常见的习题。

一个粒子独立于时间的薛定谔方程为

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$是粒子质量，${\displaystyle x}$是粒子位置，${\displaystyle E}$是能量，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$是波函数，${\displaystyle V(x)}$是位势，表达为

其中，${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)}$是狄拉克Delta函数，${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$是狄拉克Delta函数的强度。

这位势垒将一维空间分为两个区域：与${\displaystyle x>0}$。在任何一个区域内，位势为常数，薛定谔方程的解答可以写为往右与往左传播的波函数的叠加（参阅自由粒子）：

其中，${\displaystyle A_r}$、${\displaystyle A_l}$、${\displaystyle B_r}$、${\displaystyle B_l}$都是必须由边界条件决定的常数，下标${\displaystyle r}$与${\displaystyle l}$分别标记波函数往右或往左的方向。${\displaystyle k=\sqrt{2mE/{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}}$是波数。

由于${\displaystyle E>0}$，${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_L}$与${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_R}$都是行进波。这两个波必须满足在${\displaystyle x=0}$的边界条件：

特别注意第二个边界条件方程，波函数随位置的导数在${\displaystyle x=0}$并不是连续的，在位势垒两边的差额有${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_R}$这么多。这方程的推导必须用到薛定谔方程。将薛定谔方程积分于${\displaystyle x=0}$的一个非常小的邻域：

其中，${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$是一个非常小的数值。

方程(1)右边的能量项目是

在${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\to <!--\; \to \; -->0}$的极限，这项目往著0去。

方程(1)左边是

根据狄拉克Delta函数的定义，

而在${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\to <!--\; \to \; -->0}$的极限，

将这些结果(4)，(5)，(6)代入方程(3)，稍加编排，可以得到第二个边界条件方程：在${\displaystyle x=0}$，

从这两个边界条件方程。稍加运算，可以得到以下方程：

由于能量是正值的，粒子可以自由的移动于位势垒外的两个半空间，或${\displaystyle x>0}$。可是，在Delta位势垒，粒子会遇到散射状况。设定粒子从左边入射。在Delta位势垒，粒子可能会被反射回去，或者会被透射过去。我们想要知道散射的反射系数与透射系数。设定${\displaystyle A_r=1}$，${\displaystyle A_l=r}$，${\displaystyle B_l=0}$，${\displaystyle B_r=t}$。求算反射的概率幅${\displaystyle r}$与透射的概率幅${\displaystyle t}$：

反射系数是

透射系数是

这纯粹是一个量子力学的效应，称为量子隧穿效应；在经典力学里，透射系数等于0，粒子不可能会透射过位势垒。