李雅普诺夫函数

李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。其名称来自俄罗斯数学家亚历山大·李雅普诺夫（Александр Михайлович Ляпунов）。李雅普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。

若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李雅普诺夫候选函数，而找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动力系统中，有时会利用守恒律来建构李雅普诺夫候选函数。

针对自治系统的李雅普诺夫定理，直接使用李雅普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。而寻找李雅普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李雅普诺夫函数。

令

为标量函数。
若要${\displaystyle V}$为李雅普诺夫候选函数，函数${\displaystyle V}$需为局部正定函数，亦即

其中 ${\displaystyle U}$ 是 ${\displaystyle x=0}$ 的邻域。

令

为一个自治的动力系统，其平衡点为${\displaystyle y^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$:

可利用${\displaystyle x=y-<!--\; -\; -->y^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$ 的坐标变换，使得

在新的系统 ${\displaystyle f(x)}$ 中，其平衡点为原点。

若系统的平衡点不是原点，可用上述的方式，变换为另一个平衡点为原点的系统，因此以下的说明中，均假设原点是系统的平衡点。

令

为以下自治系统的平衡点

且令

为李雅普诺夫候选函数${\displaystyle V}$的时间导数。

若在平衡点的邻域${\displaystyle \mathcal{B}}$，李雅普诺夫候选函数${\displaystyle V}$为正定，且其时间导数半负定：

则此平衡点为一稳定的平衡点。

若在平衡点的邻域${\displaystyle \mathcal{B}}$，李雅普诺夫候选函数${\displaystyle V}$为正定，且其时间导数为负定：

则此平衡点为一局部渐近稳定的平衡点。

若李雅普诺夫候选函数${\displaystyle V}$为全域正定，其时间导数为全域负定：

且${\displaystyle V}$满足以下的条件（称为“径向无界” radially unbounded）：

则此平衡点为一全域渐近稳定的平衡点。