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证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式

✍ dations ◷ 2025-12-05 22:25:29 #素数,数论,包含证明的条目

欧拉在他的论文《无穷级数的一些检视》（）中证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式，并于1737年由当时的科学院出版。

黎曼ζ函数以欧拉乘积的方式可写成

而左方等于黎曼ζ函数：

右方的乘积则扩展至所有素数：

证明过程只需用到简单的代数概念，这亦是欧拉当初使用的证明方法。

从（1）式减去（2）式：

重复上面步骤：

从（3）式减去（4）式，可得：

这次2和3的所有倍数项都被减去。可见右方的的倍数项可被筛去，不断重复以上步骤可得：

左右两方除以所有括号项，我们得到：

最后，公式可写成素数的无穷乘积：

证毕。

为了使证明更严密，我们只需注意到当 $\Re (s)>1$ $\Re (s)>1$ ，已筛的右方项趋向1，并遵从狄利克雷级数的收敛性。

从以上公式可推导出 ζ(1) 的有趣结果。

可以写成，

又知：

所以

我们得知左式是调和级数，并发散至无穷大，故此右式的分子（素数阶乘）必定同样发散至无穷大。由此可以证明素数有无限多个。

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