抽象指标记号

✍ dations ◷ 2025-11-25 08:14:33 #张量,数学表示法

抽象指标记号（英语：abstract index notation）是由罗杰·彭罗斯发明的一种用来表示张量与旋量的数学记号。与不带指标的字母（如）表示张量相比，这种表示法能够显示张量的类型，同时可清楚地表明缩并等运算。而与用分量（张量在某一特定基底下的分量）表示张量不同，该表示法与特定的基底无关，可以表示出张量等式。

假定为向量空间，*是其对偶空间。定义二阶协变张量 $h\in V^{*}\otimes V^{*}$ 是上的双线性映射，即可表示为（以两个“槽”表示中的两个变量）：

抽象指标记号便是通过拉丁字母代替“槽”来表示上式：

当协变指标（下标，表示*中张量）与逆变指标（上标，表示中张量）重复时表示进行缩并运算，如：

即表示 $t={t_{ab}}^{c}$ $t={t_{{ab}}}^{c}$ 对后两个“槽”进行缩并的迹。这种表示缩并的方式与爱因斯坦求和约定类似，但此表示法只是抽象的记号而已，并不表示求和运算。

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