欧拉示性数

在代数拓扑中，欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变量（事实上，是同伦不变量），对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}$,和分别是点，边和面的个数。特别的有，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有

例如，对于立方体，我们有6 − 12 + 8 = 2而对于四面体我们有4 − 6 + 4 = 2.刚才的公式也叫做欧拉公式。该公式最早由法国数学家笛卡儿于1635年左右证明，但不为人知。后瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1750年独立证明了这个公式。1860年，笛卡儿的工作被发现，此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。

对于有限CW-复形（CW-Complex）包括有限单纯复形（simplicial complex），欧拉示性数可以定义为交错和

其中${\displaystyle k_i}$来计算

闭不可定向曲面的欧拉示性数可以用下式通过它们的（不可定向）亏格来计算

欧拉示性数和三角化的选择无关。公式也可用于到任意多边形的分解。

对于圆盘，我们有${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}=1}$个贝蒂数${\displaystyle b_n}$个同调群的阶。欧拉示性数可以定义为如下交换和

这个定义在贝蒂数全都有限并且在一个特定指标${\displaystyle n_0}$和是拓扑空间，则它们的积空间 × 的欧拉示性数为

有界偏序集（partially ordered set，简称poset）的欧拉示性数的概念是另一种推广，在组合论中很重要。一个偏序集“有界”，如果它有最小和最大元素，我们把它们叫作0和1。这样一个偏序集的欧拉示性数是μ(0,1)，其中μ是在偏序集的相交代数（incidence algebra）中的默比乌斯函数。

第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，大致如下：

从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样（移去的面对应网络的外部。）

重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数） − + 的额外变换。

重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形 = 2（把外部数在内）， = 3， = 3。所以 − + = 2。证毕。