皮亚诺存在性定理

在数学中, 特别是在常微分方程的研究中，皮亚诺存在定理（又称为皮亚诺定理、柯西-皮亚诺定理）是以数学家朱塞佩·皮亚诺的名字命名的一个定理。这个定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保证了微分方程在一定的初始条件下的解的存在性。

这个定理最早由数学家朱塞佩·皮亚诺在1886年发表，但是他给出的证明是错误的。1890年他又发表了一个正确的运用逐次逼近法的证明。

设 为R × R 的一个开子集，以及一个连续函数：

皮亚诺存在定理：定义在 上的一个一阶线性常微分方程（其中 ${\displaystyle (x_0,y_0)\in <!--\; \in \; -->D}$，以及一个函数：

皮亚诺存在定理可以和另外一个存在性定理：皮卡-林德洛夫定理作比较。相比起皮亚诺存在定理，皮卡-林德洛夫定理对函数 ${\displaystyle f}$ 的附近，都有一个常数 ${\displaystyle K_x}$ 和一个邻域 ${\displaystyle I_x}$，使得对于${\displaystyle I_x}$中任意的${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$两点，都有：

这个要求比单纯的连续性要高，但是得出的结论也更强了：皮卡-林德洛夫定理说明，在满足上述要求时，微分方程的局部解不仅存在而且是唯一的。

设${\displaystyle T>0}$为一个常数，考虑函数

根据皮亚诺存在定理，由于函数${\displaystyle f:x\to <!--\; \to \; -->{\left|x\right|}^{\frac{1}{2}}}$在${\displaystyle }$上连续，微分方程有解。但由于 ${\displaystyle f}$ 在0处的导数为正无穷，${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle }$上不满足利普希茨条件，于是解不一定是唯一的。事实上：对于任意的，定义为：当${\displaystyle t\le <!--\; \le \; -->t_0}$ 时 ${\displaystyle h(t)=(t-<!--\; -\; -->t_0{)}^2/4}$，当 ${\displaystyle t_0\le <!--\; \le \; -->t\le <!--\; \le \; -->T}$ 时 ${\displaystyle y=0}$的函数 ${\displaystyle h}$ 都是微分方程的解，也就是说解有无穷多个。这个反例来源于一个物理模型：假设有一个漏水的容器，其水面高度（函数${\displaystyle h}$）和时间的关系由以上的微分方程定义的话，那么由于事实上可以观测到漏水的过程，所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水后的某个时刻的状态（${\displaystyle y(T)=0}$）的话，是无法倒过来推测原来的水位有多高的（也就是说没有唯一解）。