剪切小波

在应用数学的分析方面，剪切小波是一个多尺度的架构，且在多变量问题中能高效率编码有各向异性的特点。起初，为了分析及稀疏近似多维方程式${\displaystyle f\in <!--\; \in \; -->L^2({\mathbb{R}}^2)}$

为一个改变分辨率的方法。

为一个改变方向的方法。最后再用平移去改变位置。相较于曲小波，剪切小波利用剪切的方法取代旋转的方法，其优点在于如果${\displaystyle s\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}$，像是 ${\displaystyle S_s{\mathbb{Z}}^2\subseteq <!--\; \subseteq \; -->{\mathbb{Z}}^2}$时，剪切运算子${\displaystyle S_s}$会让整数格不改变。

给定一个${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\in <!--\; \in \; -->L^2({\mathbb{R}}^2)}$，由${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\in <!--\; \in \; -->L^2({\mathbb{R}}^2)}$产生的连续剪切小波系统被定义成：

其对应的连续剪切小波转换：

离散的剪切小波系统可以直接从${\displaystyle {\mathrm{SH}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}}<!--\; \; -->(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}$并借由将参数集合${\displaystyle {\mathbb{R}}_{>0}\times <!--\; \times \; -->\mathbb{R}\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{R}}^2.}$离散化导出。有很多方法可以实现，但最常见是由下式导出：

从这个式子，与剪切运算子有关的离散剪切小波系统被定义为：

其相关的离散剪切小波转换被定义为：

设${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1\in <!--\; \in \; -->L^2(\mathbb{R})}$为一个满足离散卡尔德龙条件的函数，像是：

${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}_1\in <!--\; \in \; -->C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(\mathbb{R})}$， ${\displaystyle \mathrm{supp}<!--\; \; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}_1\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\cup <!--\; \cup \; -->}$，其中${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}_1}$ 为 ${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1}$ 的 傅立叶变换。例如，可以选择${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1}$为一个梅尔小波。此外，设${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2\in <!--\; \in \; -->L^2(\mathbb{R})}$而且${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}_2\in <!--\; \in \; -->C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(\mathbb{R}),}$ ${\displaystyle \mathrm{supp}<!--\; \; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}_2\subseteq <!--\; \subseteq \; -->}$

通常会选择一个冲击函数作为${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}_2}$，然后${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\in <!--\; \in \; -->L^2({\mathbb{R}}^2)}$就会是：

这被称作一个典型的剪切小波。其对应的离散剪切小波系统${\displaystyle \mathrm{SH}<!--\; \; -->(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}$在${\displaystyle L^2({\mathbb{R}}^2)}$空间中构成一个紧框架，且其中包含频带限制的函数。

另外一个例子是紧支撑的剪切小波系统，其中要选定紧支撑函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\in <!--\; \in \; -->L^2({\mathbb{R}}^2)}$让${\displaystyle \mathrm{SH}<!--\; \; -->(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}$形成一个${\displaystyle L^2({\mathbb{R}}^2)}$的框架。既然这样，在${\displaystyle \mathrm{SH}<!--\; \; -->(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}$中所有剪切小波的元素是紧支撑且相较于频带限制的典型剪切小波有优越的空间定位。虽然紧支撑的剪切小波系统没有形成一个Parseval框架，但任意一个${\displaystyle f\in <!--\; \in \; -->L^2({\mathbb{R}}^2)}$的函数可以被写成剪切小波的扩张。

上述所定义的剪切小波有其缺陷，那就是剪切小波元素的方向性偏差与大的剪切参数有关联。在典型剪切小波的频率拼接(在#范例中的图可见)中可以看到这个影响，当剪切参数${\displaystyle s}$趋近无限大时，剪切小波的频率支撑越来越贴近${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2}$轴，这在分析傅立叶变换集中分布在${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2}$轴的函数时造成很严重的问题。

为了解决这个问题，频域被分成一个低频部分和两个锥形部分(如图所示)：

这个自适应性剪切小波系统是由三个部分组成，每个部分都对应到这些频域之一，这个系统是由三个函数${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}\in <!--\; \in \; -->L^2({\mathbb{R}}^2)}$和晶格取样因子${\displaystyle c=(c_1,c_2)\in <!--\; \in \; -->({\mathbb{R}}_{>0}{)}^2:}$所产生，

其中：

式子中的一些变数定义如下；

系统${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}$ 和 ${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}})}$ru 基本上不同点在于${\displaystyle x_1}$ 和 ${\displaystyle x_2}$的角色互换。因此，它们分别对应到锥形区域${\displaystyle {\mathcal{C}}_{\mathrm{h}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal{C}}_{\mathrm{v}}}$，最后，缩放函数${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$则对应到低频区域${\displaystyle \mathcal{R}}$。