首页 >

错排问题

✍ dations ◷ 2025-12-07 20:25:07 #组合数学

错排问题是组合数学中的问题之一。考虑一个有 $n {\displaystyle n}$ ），并独立解决了这个问题。

对于情况较少的排列，可以使用枚举法。

对于排列数较多的情况，难以采用枚举法。这时可以用递归思想推导错排数的递回关系式。

显然D₁=0，D₂=1。当n≥3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n，也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑k的情况。

所以当n排在第k位时共有D_n-2+D_n-1种错排方法，又k有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：

在上面我们得到

D_n=(n-1)(D_n-1+D_n-2)

从这个公式中我们可以推出D_n的通项公式，方法如下：

为书写方便，记D_n = n!M_n，则M₁ = 0, M₂ = ${\frac {1}{2}}$ 的最大整数）。

这个简化公式可以由之前的错排公式推导出来。事实上，考虑指数函数在 0 处的泰勒展开：

所以， ${\frac {n!}{e}}-D_{n}=n!\,R_{n}$ 是泰勒展开的余项，是介于 0 和 1 之间的某个实数。的绝对值上限为

当 n≥2 时， ${\frac {1}{(n+1)}}$ ${\frac {1}{(n+1)}}$ 严格小于 0.5，所以 $D_{n}=n!\left({\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)$ $D_{n}=n!\left({\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)$ 是最接近 ${\frac {n!}{e}}$ ${\frac {n!}{e}}$ 的整数，可以写成

相关

吞噬作用吞噬作用（英语：phagocytosis，来自古希腊语φαγεῖν）亦称吞食、噬菌作用，是吞噬细胞和原生动物通过细胞膜从周围环境摄取固体颗粒，并在其内部形成吞噬体的过程。吞噬作用是细胞
以色列历史以色列人的先祖是居住在美索不达米亚哈兰地区的闪族人，后来因神要求亚伯兰（后改名为亚伯拉罕）迁至“应许之地”的原故，迁居至迦南（Canaan），并结合当地的游牧文化，定居至约旦河西岸，即
2,3-二羟-3-甲基戊酸2,3-二羟-3-甲基戊酸（2,3-dihydroxy-3-methylpentanoic acid）是异亮氨酸的代谢中间产物。医学导航：遗传代谢缺陷代谢、k,c/g/r/p/y/i,f/h/s/l/o/e,a/u,n,mk,cgrp/y/i,f/h/s/l/o
英国大选政治主题英国大选（General elections of the United Kingdom）是指英国选举最高立法机构英国国会议员的选举，英国的国会议员（Members of Parliament，MP）通常指下议院议员。国会议员
2019–20年欧洲冠军联赛2019–20年欧洲冠军联赛是欧洲足联主办的第 65 届顶级俱乐部赛事，亦是自本项赛事更名为欧洲冠军联赛以来的第 28 届赛事。本届赛事之决赛会于土耳其伊斯坦布尔的阿塔图克奥林
克尔克克尔克（Krk）是克罗地亚的一座城市，位于克尔克岛上，是亚得里亚海沿岸最古老的城市。自罗马时代起便有人居住，在西罗马帝国灭亡后一度是拜占庭达尔马提亚王国的一部分。
二甲基汞二甲基汞，化学式(CH3)2Hg，是一种含汞有机化合物。易挥发，易燃，剧毒。亦是已知最危险的有机汞化合物，对胎儿的神经系统、智商和记忆等有危害，数微升即可致死。二甲基汞能渗过乳胶，溶
我爱死她了《我爱死她了》(Je l'aime à mourir)是弗朗西斯·凯布洛在1979年发行的专辑《捷径》中的一首歌曲。此专辑在法国的销售量达600 000张，这首《我爱死她了》作为单曲发行的销售
花荵科 * 电灯花属 * * * * * 天蓝绣球属花荵属 * * 并不是所有的分类学家都承认花荵科也叫翠梅科，包括18-25属约270-400种，分布于北半球和部分南美洲，绝大
博马高原博马高原（Boma Plateau）位于苏丹东南部琼莱省和东赤道省，与埃塞俄比亚高地连接，是区内雀鸟的重要湿地。过度放牧和利用枪支过度捕猎在威胁著野生生物。 1977年，博马国家公园成立，