可分离变数的偏微分方程

可分离变数的偏微分方程（PDE）是指一种偏微分方程，在求解时可以用分离变数法分离为一组阶数较低的微分方程。这一般是因为偏微分方程满足某种形式或是对称。因此可以利用求解一组较简单的偏微分方程来求解原问题，若可以简化为一维的问题，甚至可以用变成常微分方程。

分离变数法最常见的形式是其解可以假设为几个函数的积，而每个函数只有一个自变数。例如给予一个 ${\displaystyle n}$ 元函数 ${\displaystyle F(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}$ 的偏微分方程，猜想解答的形式为

这是一种特别的分离变数法，称为${\displaystyle R}$-分离变数法，此方式是将解写成和座标有关的固定函数，以及以各座标为自变数函数的乘积。${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$上的拉普拉斯方程是一个可以用${\displaystyle R}$-分离变数法求解的偏微分方程的例子，在三维空间下会用六维球面座标转换（英语：6-sphere coordinates）来求解。

偏微分方程的分离变数法和常微分方程的分离变数法不同，后者是指问题可以变成二个积分相等的形式。

例如，考虑时变的薛定谔方程

针对函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{x})}$（为简化问题，其为无因次量）（等效的作法是考虑非齐次的亥姆霍兹方程）。若三维函数${\displaystyle V(\mathbf{x})}$形式如下

则此问题可以分解为三个一维的常微分方程，函数分别是${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1(x_1)}$、${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2(x_2)}$及${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_3(x_3)}$，最后的解可以写成${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{x})={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1(x_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2(x_2)\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_3(x_3)}$。（薛定谔方程中可以分离变数求解的例子已由艾森哈特（Eisenhart）在1948年列举）。