首页 >
旋转对称性
✍ dations ◷ 2025-06-07 03:17:03 #旋转对称性
在数学里,给予一个定义于内积空间的函数,假若对于任意旋转,函数的参数值可能会改变,但是函数的数值仍旧保持不变,则称此性质为旋转不变性(rotational invariance),或旋转对称性(rotational symmetry),因为函数对于旋转具有对称性。例如,假设以xyz-参考系的原点为固定点,任意旋转xyz-参考系,而函数
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{displaystyle f(x,,y,,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}}
的数值保持不变,因此,函数
f
(
x
,
y
,
z
)
{displaystyle f(x,,y,,z)}
对于任意旋转具有不变性,或对于任意旋转具有对称性。在物理学里,假若物理系统的性质跟它在空间的取向无关,则这系统具有旋转不变性。根据诺特定理,假若物理系统的作用量具有旋转不变性,则角动量守恒。根据物理学家多年来仔细研究的结果,到目前为止,所有的物理基础定律都具有旋转不变性。假设一个量子系统的位势为球对称位势
V
(
r
)
{displaystyle V(r)}
,其哈密顿算符
H
{displaystyle H}
可以表示为其中,
ℏ
{displaystyle hbar }
是约化普朗克常数,
m
{displaystyle m}
是质量,
r
{displaystyle r}
是径向距离。现在,以 z-轴为旋转轴,旋转此系统的 x-轴与 y-轴
θ
{displaystyle theta }
角弧,则新直角坐标
r
′
=
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{displaystyle mathbf {r} '=(x',,y',,z')}
与旧直角坐标的关系式为偏导数为那么,导数项目具有旋转不变性:由于径向距离具有旋转不变性:旋转之后,新的哈密顿算符
H
′
{displaystyle H'}
是所以,球对称位势量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。假设一个量子系统的位势为球对称位势
V
(
r
)
{displaystyle V(r)}
,则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符
R
{displaystyle R}
为一个对于 z-轴的无穷小旋转
δ
θ
{displaystyle delta theta }
。则正弦函数与余弦函数可以分别近似为新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为将
R
{displaystyle R}
作用于波函数
ψ
(
x
,
y
,
z
)
{displaystyle psi (x,,y,,z)}
,其中,
L
z
{displaystyle L_{z}}
是角动量的 z-分量,
L
z
=
x
p
y
−
y
p
x
=
−
i
ℏ
(
x
∂
∂
y
−
y
∂
∂
x
)
{displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-ihbar left(x{frac {partial }{partial y}}-y{frac {partial }{partial x}}right)}
。所以,旋转算符
R
{displaystyle R}
可以表达为假设
ψ
E
(
r
)
{displaystyle psi _{E}(mathbf {r} )}
是哈密顿算符的能级本征态,则由于
r
{displaystyle mathbf {r} }
只是一个虚设变数,在做一个微小旋转之后,所以,
(
R
H
−
H
R
)
ψ
E
(
r
)
=
0
{displaystyle (RH-HR)psi _{E}(mathbf {r} )=0}
。哈密顿算符的能级本征态
ψ
E
(
r
)
{displaystyle psi _{E}(mathbf {r} )}
形成一组完备集 (complete set),旋转算符和哈密顿算符的对易关系是因此,根据埃伦费斯特定理,
L
z
{displaystyle L_{z}}
的期望值对于时间的导数是所以,由于
L
z
{displaystyle L_{z}}
显性地不含时间,总结,
⟨
L
z
⟩
{displaystyle langle L_{z}rangle }
不含时间,
L
z
{displaystyle L_{z}}
是个运动常数。角动量的 z-分量守恒。类似地,可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以,整个角动量守恒。
相关
- 顺势疗法下面是以同治同疗法的介绍,于中文顺势二字无太多相关性,建议移除此条目。 同质疗法、同种疗法(英语:Homeopathy i/ˌhoʊmiˈɒpəθi/)为一
- 细胞死亡细胞死亡(Cell death)是描述生物细胞永久中止运作生理功能的状态。细胞死亡可能起因于个体计划性的细胞死亡,或是因疾病或创伤导致细胞不可逆的损伤而死亡。Category:Medical a
- 猫抓病猫抓病是一种由巴通体科的韩瑟勒巴通氏菌(学名:Bartonella henselae)引起的亚急性细菌性疾病,至1950年代则发现此病多经猫抓伤或咬伤而造成感染,主要传播媒介是家猫,主要病发在小
- 铜绿碱式碳酸铜化学式为Cu2(OH)2CO3,也有写作CuCO3·Cu(OH)2,颜色翠绿,在自然界中铜通常以此种化合物的形式存在,它是铜与空气中的氧气、二氧化碳和水等物质反应产生的物质。不溶于
- 乳铁蛋白1B0L, 1BKA, 1CB6, 1DSN, 1EH3, 1FCK, 1H43, 1H44, 1H45, 1HSE, 1L5T, 1LCF, 1LCT, 1LFG, 1LFH, 1LFI, 1LGB, 1N76, 1SQY, 1U62, 1VFD, 1VFE, 1XV4, 1XV7, 1Z6V, 1Z6W, 2BJJ
- National Center for Biotechnology Information国家生物技术信息中心(National Center for Biotechnology Information,简称NCBI)是美国国家医学图书馆(NLM)的一部分(该图书馆是美国国家卫生研究所的一部分)。NCBI位于美国马里兰
- 伯氏疏螺旋体伯氏疏螺旋体(Borrelia burgdorferi),也译作博氏疏螺旋体、布氏疏螺旋体,巴格朵夫疏螺旋菌,莱姆病螺旋体,是一种螺旋体。伯氏疏螺旋体是莱姆病的病原体,由蜱传播给人类。伯氏疏螺旋
- 念珠菌病念珠菌症(Candidiasis)是假丝酵母属(酵母菌的一种)所造成的霉菌感染,在感染口腔时,就会引发鹅口疮(Thrush)。症状和病征包括在舌头、口腔以及咽喉的部位出现小白点,也可能产生例如酸
- 嗜血杆菌流感嗜血杆菌(学名:Haemophilus influenzae),简称嗜血杆菌,前称费佛氏杆菌(或译拜菲尔氏菌)或流感杆菌,是一种没有运动力的革兰氏阴性杆菌。它是于1892年由费佛(英语:Richard Friedric
- 电磁力电磁力(英语:electromagnetic force)是处于电场、磁场或电磁场的带电粒子所受到的作用力。大自然的四种基本力中,电磁力是其中一种,其它三种是强作用力、弱作用力、引力。光子是