旋转对称性

在数学里，给予一个定义于内积空间的函数，假若对于任意旋转，函数的参数值可能会改变，但是函数的数值仍旧保持不变，则称此性质为旋转不变性（rotational invariance），或旋转对称性（rotational symmetry），因为函数对于旋转具有对称性。例如，假设以xyz-参考系的原点为固定点，任意旋转xyz-参考系，而函数 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 {displaystyle f(x,,y,,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}} 的数值保持不变，因此，函数 f ( x , y , z ) {displaystyle f(x,,y,,z)} 对于任意旋转具有不变性，或对于任意旋转具有对称性。在物理学里，假若物理系统的性质跟它在空间的取向无关，则这系统具有旋转不变性。根据诺特定理，假若物理系统的作用量具有旋转不变性，则角动量守恒。根据物理学家多年来仔细研究的结果，到目前为止，所有的物理基础定律都具有旋转不变性。假设一个量子系统的位势为球对称位势 V ( r ) {displaystyle V(r)} ，其哈密顿算符 H {displaystyle H} 可以表示为其中， ℏ {displaystyle hbar } 是约化普朗克常数， m {displaystyle m} 是质量， r {displaystyle r} 是径向距离。现在，以 z-轴为旋转轴，旋转此系统的 x-轴与 y-轴 θ {displaystyle theta } 角弧，则新直角坐标 r ′ = ( x ′ , y ′ , z ′ ) {displaystyle mathbf {r} '=(x',,y',,z')} 与旧直角坐标的关系式为偏导数为那么，导数项目具有旋转不变性：由于径向距离具有旋转不变性：旋转之后，新的哈密顿算符 H ′ {displaystyle H'} 是所以，球对称位势量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。假设一个量子系统的位势为球对称位势 V ( r ) {displaystyle V(r)} ，则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 R {displaystyle R} 为一个对于 z-轴的无穷小旋转 δ θ {displaystyle delta theta } 。则正弦函数与余弦函数可以分别近似为新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为将 R {displaystyle R} 作用于波函数 ψ ( x , y , z ) {displaystyle psi (x,,y,,z)} ，其中， L z {displaystyle L_{z}} 是角动量的 z-分量， L z = x p y − y p x = − i ℏ ( x ∂ ∂ y − y ∂ ∂ x ) {displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-ihbar left(x{frac {partial }{partial y}}-y{frac {partial }{partial x}}right)} 。所以，旋转算符 R {displaystyle R} 可以表达为假设 ψ E ( r ) {displaystyle psi _{E}(mathbf {r} )} 是哈密顿算符的能级本征态，则由于 r {displaystyle mathbf {r} } 只是一个虚设变数，在做一个微小旋转之后，所以， ( R H − H R ) ψ E ( r ) = 0 {displaystyle (RH-HR)psi _{E}(mathbf {r} )=0} 。哈密顿算符的能级本征态 ψ E ( r ) {displaystyle psi _{E}(mathbf {r} )} 形成一组完备集 (complete set)，旋转算符和哈密顿算符的对易关系是因此，根据埃伦费斯特定理， L z {displaystyle L_{z}} 的期望值对于时间的导数是所以，由于 L z {displaystyle L_{z}} 显性地不含时间，总结， ⟨ L z ⟩ {displaystyle langle L_{z}rangle } 不含时间， L z {displaystyle L_{z}} 是个运动常数。角动量的 z-分量守恒。类似地，可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以，整个角动量守恒。