正常重力位

✍ dations ◷ 2025-09-16 05:56:29 #大地测量学,地球物理学,Pages that use a deprecated format of the math tags

正常重力位(英语:Normal gravity potential)是大地测量学中用于对地球的真实重力位进行近似的数学工具,是一个规则的、较为简单的重力位函数。:190正常重力是正常重力位的梯度。:68

地球的真实重力位在研究地球形状及其外部重力场的过程中是待解的未知量,且对其直接计算需要了解地球内部的质量分布,理论上被无法精确求得,且反演过程计算复杂。因此,研究中常选用一个规则的正常椭球体对地球的形状进行近似,将其产生的重力场中的重力位称为正常重力位:15,而把真实重力位与正常重力位的差异称作扰动位。选择适当的正常重力位,可以使扰动位成为微小量,便于以线性近似的方式对其进行求解。:64在地球重力场中,正常重力位可以占到到真实重力位的 99.9995 % {\displaystyle 99.9995\%} :15。

正常重力位应当具有以下特性::94

这些特性保证了正常重力位是规则分布的,利用这些性质能够简化复杂的计算过程。最后一个条件保证了还正常椭球体的表面是一个重力等位面。

正常重力位 U {\displaystyle U} 包含两部分,一部分是因正常椭球体的质量而产生的引力位 V {\displaystyle V} ,另一部分是因正常椭球体的绕轴自转而产生的离心力位 Φ {\displaystyle \Phi } ::64

上式中, ω {\displaystyle \omega } 表示地球自转的角速度, ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 是正常椭球体外部空间中某点的笛卡尔坐标,该坐标系的 Z {\displaystyle Z} 轴与椭球体的自转轴平行或重合。其中的离心力位 Φ {\displaystyle \Phi } 可以由点的坐标直接求得,不必展开为级数,只需对引力位 V {\displaystyle V} 进行展开即可。:197

采用球面作为正常椭球体的近似,将椭球体外部( r > a {\displaystyle r>a} )的引力位展开为边界面( r = a {\displaystyle r=a} )上的球谐级数,则其表达式为::59:79

上式中各项符号的物理或数学意义如下:

其中 δ m , 0 {\displaystyle \delta _{m,0}} 为克罗内克δ函数,当 m = 0 {\displaystyle m=0} 时为零,其他情况下为一。

展开后的球谐级数具有以下性质:

根据上述性质,该表达式可进一步简化为:

利用引力位 V {\displaystyle V} 在边界面外部满足拉普拉斯方程的性质,将地球的真实引力位可展开为球谐级数,保留其中的头几项作为正常重力位的引力位部分从而确定正常重力位的方法被称为拉普拉斯方法。:190-191通过选取不同的大地水准面重力位值,可以得到不同的正常重力位等位面,从中选取一个最接近于大地水准面的,这一曲面即为产生正常重力位的质体的表面。

将正常重力位直接展开成椭球面 S 0 {\displaystyle S_{0}} 上的级数,称为椭球谐级数,形式较球谐函数更为复杂::65

上式中各项符号的物理或数学意义与球谐函数有所不同:

u = b {\displaystyle u=b} 时,由重力位 U 0 {\displaystyle U_{0}} 所决定的等位面应当与正常椭球面 S 0 {\displaystyle S_{0}} 相重合,此时有:

当且仅当所有含 P n ( sin β ) {\displaystyle P_{n}(\sin \beta )} 的项均为零时,对于任意 β {\displaystyle \beta } 值该公式都成立。对其头三项进行展开::66

因此,有

得到引力位部分的椭球谐级数表达式为::66

其中

考虑到椭圆坐标 ( u , β ) {\displaystyle (u,\beta )} 与向径 r {\displaystyle r} 存在如下转换关系:

利用该关系对下式进行线性化,得:

利用这两项关系式,可以得到线性化后的引力位函数:

比较与

得出大地水准面重力位的表达式::67

将大地水准面重力位的表达式代入原正常重力位的计算公式中,得::67

球谐系数的积分公式中包含了正常椭球体内质量的分布关系,且积分范围是整个正常椭球体,因此球谐系数与正常椭球体的某些物理性质相关。

n = 0 {\displaystyle n=0} 时,球谐系数只有一项::61

即球谐系数的零阶项反映了正常椭球体的地心引力常数或总质量。

n = 1 {\displaystyle n=1} 时,球谐系数有三项::61

其中, r M = ( x M , y M , z M ) {\displaystyle {\vec {r}}_{M}=\left(x_{M},y_{M},z_{M}\right)} 表示椭球的质心坐标。当坐标系的原点与椭球质心重合时, x M = y M = z M = 0 {\displaystyle x_{M}=y_{M}=z_{M}=0} ,所以球谐系数的一阶项一般都为零。:62

n = 2 {\displaystyle n=2} 时,球谐系数有五项(仅以 A m , n {\displaystyle A_{m,n}} B m , n {\displaystyle B_{m,n}} 为例)::62

其中的五项积分,既可以四极矩张量 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 或惯性张量 I {\displaystyle \mathbf {I} } 表达::91

当且仅当坐标系的各坐标轴与地球的主惯性轴重合时, I x z = I x y = I y z = 0 {\displaystyle I_{xz}=I_{xy}=I_{yz}=0} ,因此亦有 A 2 , 1 = B 2 , 1 = B 2 , 2 = 0 {\displaystyle A_{2,1}=B_{2,1}=B_{2,2}=0} 。反过来,坐标轴的选择又决定了这三个二阶项系数的值:当坐标系的 Z {\displaystyle Z} 轴指向协议地球极时,受极移等因素的影响,这一指向与地球的瞬时主惯性轴并不重合,因此 A 2 , 1 {\displaystyle A_{2,1}} B 2 , 1 {\displaystyle B_{2,1}} 的并不为零;而 X {\displaystyle X} 轴的指向(通常是本初子午线)则决定了 B 2 , 2 {\displaystyle B_{2,2}} 的数值。:91 另外, A 2 , 2 {\displaystyle A_{2,2}} 由赤道的形状决定:当正常椭球为对称的旋转体时,赤道是圆形,此时 I x x = I y y {\displaystyle I_{xx}=I_{yy}} ,即有 A 2 , 2 = 0 {\displaystyle A_{2,2}=0} 。:205

相关

  • 演替演替(英语:succession)是指在群落发展变化过程中,由低级到高级,由简单到复杂,一个阶段接着一个阶段,一个群落代替另一个群落的自然演变现象。裸地的存在是群落形成的最初条件和场所
  • 聋哑聋哑以往是用来形容失聪且无法说话,需使用手语沟通的人。此一词语现在也用来指无法用口语沟通的失聪者,或是失聪者有部分口语能力,但因为声音和一般人不同,为避免注意,而选择改用
  • 胡安·庇隆胡安·多明戈·庇隆(西班牙语:Juan Domingo Perón;1895年10月8日-1974年7月1日),阿根廷军人及政治家,是阿根廷迄今为止任职时间第二长的总统,也是唯一曾三次当选的总统。他和妻子伊
  • 一氯二氟甲烷二氟一氯甲烷,别名氟利昂-22、R-22,分子式CHClF2。无色近乎无臭气体。不可燃。微溶于水。由三氯甲烷和氟化氢在五氯化锑催化下反应而得。用作致冷剂、聚四氟乙烯树脂原料和灭
  • 火龙果火龙果又称红龙果、龙珠果,正确名称叫仙人掌果、量天尺果,是仙人掌科三角柱属或蛇鞭柱属(英语:Selenicereus)植物果实。水果呈椭圆形,直径10-12cm,外观为红色或黄色,有绿色圆角三角形
  • 罗氏公司罗氏(德语:F. Hoffmann-La Roche AG,简称Roche),总部位于瑞士巴塞尔的跨国医药研发生产商。它始创于1896年,现属于罗氏控股股份有限公司。罗氏于2009年3月26日以大约468亿美元完成
  • 四色菊府四色菊府(泰语:จังหวัดศรีสะเกษ,皇家转写:Changwat Si Sa Ket,泰语发音:)是泰国东北部之一个府。该府原名为“区康城”,其后在其北畔建一新城池,称为“四色菊城”。两
  • 巴黎和平协约巴黎和平协约(英语:Paris Peace Accords)是越南共和国(南越)、美国、越南民主共和国(北越)及“越南南方民族解放阵线”(又称越共)于1973年在巴黎签订的一个和平协议。协议的目的是停
  • 中国人民解放军第七步兵预备学校中国人民解放军第七步兵预备学校,是曾经存在的一所中国人民解放军院校。
  • 多明戈食蚊鱼多明戈食蚊鱼,为辐鳍鱼纲鲤齿目鲤齿亚目花鳉科的其中一种,被IUCN列为濒危保育类动物,分布于中美洲海地及多米尼加的淡水流域,体长可达2.5公分,属于肉食性,生活习性不明,可作为观赏