次协调逻辑

次协调逻辑是尝试处理矛盾的逻辑。次协调逻辑是不琐碎的（non-trivial）逻辑，它允许矛盾。更加特殊的，它允许断言一个陈述和它的否定，而不导致谬论。在标准逻辑中，从矛盾中可以推导出任何东西；这叫做ex contradictione quodlibet（ECQ），也叫做爆炸原理。次协调逻辑就是ECQ不成立的逻辑系统。次协调逻辑可以用来建模有矛盾的信仰系统，但不是任何东西都能从它推导出来的。在标准逻辑中，必须小心的防止形成说谎者悖论的陈述；次协调逻辑由于不需要排除这种陈述而更加简单（尽管它仍然必须排除Curry悖论）。此外，次协调逻辑可以潜在的克服哥德尔不完备定理蕴涵的算术限制，而是完备的。发明次协调逻辑有很多动机，它们都引起对经典逻辑的会导致反直觉结果的协调性（一致性）的不满足。语义悖论，特别是自引用，提供了质问经典逻辑的形式根据。考虑说谎者悖论（这里的"<L>"表示"L这个命题"）:看起来它说的事情同于（这种推理基于几个相当似是而非的但公认不是无懈可击的前提，关于双重否定除去的和在<P>和P之间联系--就是说在命题和命题所对应的事态之间的联系。粗略的说，我们称这种关系为"真理"，所以我们能够在某种意义上，移入和移出引号和标记命题的括号）。并且，如果我们继续运做在关于真理本质的无可置疑的质朴假定之上，则L看起来是L' 的否定。所以，这是一个矛盾。（集合论和高阶逻辑的罗素悖论缘于类似的问题。）经典逻辑（或者更一般的说协调逻辑）的坚定支持者可以简单的忽略这种问题，或者简单的说像L这样的句子是无意义的。可以理解的，次协调逻辑学家机警的接受了这些句子；毕竟，"这个句子是假的"好像是完全连贯的甚至发人深省的句子。接受遵照像L这样的句子和它的外在否定L' 同样是真理的立场，是摆脱这种语义悖论的一种可能方式。次协调逻辑双面真理说的支持者Graham Priest，提供了一个例子，以表示无矛盾律和双面真理说对前提定义的看法差异：“一位站在门口的人一半在门里一半在门外。”对于"我在屋里"和与它否定的"我不在屋里"的逻辑辨证，无矛盾律认为“站在门口的人并非完全在屋内，故只属于"我不在屋里"且不属于"我在屋里"”；双面真理说则同时支持"我在屋里"和"我不在屋里"为真。可以看出，相对于无矛盾律的严格前提相信逻辑函数单射；双面真理说则相信逻辑命题属于四值概念（见相干逻辑）。要注意的是，这里无矛盾律的主张并非排中律，因为这个命题有真值。在经典逻辑中，句子的集合 Λ {displaystyle Lambda } 被称为是否定矛盾（不协调）的，如果对于某些句子 P {displaystyle P} ， Λ ⊢ P {displaystyle Lambda vdash P} 并且 Λ ⊢ ¬ P {displaystyle Lambda vdash neg P} 。在经典逻辑中，在逻辑语言内任何句子都可以从否定矛盾集合中推导出来。类似的模型理论性质对经典逻辑是成立的。这叫做爆炸原理，因为一个单一的矛盾就确保推理可以在任何任意方向上进行。经典逻辑、直觉逻辑和多数其他逻辑遭受着这个问题。开发次协调逻辑是为了避免爆炸原理的有害效果。为了解决这个问题，次协调逻辑可以简单的拒绝爆炸原理。当然，这么做可不是平凡的事情。爆炸是我们析取的真值泛函概念的直接推论；要拒绝前者必然把问题带给后者，而它好像是良基的（well-founded）。一些次协调逻辑：在知识表现中，对可废止推理系统做了很多关注，它们可以支持在更充分的证据可获得的时候否决以前的结论。可以证明可废止逻辑是次协调的。次协调逻辑也可以用做次协调数学的基础，它允许矛盾而不使所有陈述成为可推导的结论。