期望值

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望，亦简称期望，物理学中称为期待值）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说，期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的数。期望值可能与每一个结果都不相等。换句话说，期望值是该变量输出值的加权平均。期望值并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次“点数”的期望值是3.5，计算如下：不过如上所说明的，3.5虽是“点数”的期望值，但却不属于可能结果中的任一个，没有可能掷出此点数。赌博是期望值的一种常见应用。例如，美国的轮盘中常用的轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是相等的。赌注一般押在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以获得相当于赌注35倍的奖金（原注不包含在内），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。考虑到38种所有的可能结果，然后这里我们的设定的期望目标是“赢钱”，则因此，讨论赢或输两种预想状态的话，以1美元赌注押一个数字上，则获利的期望值为：赢的“概率38分之1，能获得35元”，加上“输1元的情况37种”，结果约等于-0.0526美元。也就是说，平均起来每赌1美元就会输掉0.0526美元，即美式轮盘以1美元作赌注的期望值为负0.0526美元。如果 X {displaystyle X} 是在概率空间 ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,F,P)} 中的随机变量，那么它的期望值 E ⁡ ( X ) {displaystyle operatorname {E} (X)} 的定义是：并不是每一个随机变量都有期望值的，因为有的时候上述积分不存在。如果两个随机变量的分布相同，则它们的期望值也相同。如果 X {displaystyle X} 是离散的随机变量，输出值为 x 1 , x 2 , … {displaystyle x_{1},x_{2},ldots } ，和输出值相应的概率为 p 1 , p 2 , … {displaystyle p_{1},p_{2},ldots } （概率和为1）。若级数 ∑ i p i x i {displaystyle sum _{i}p_{i}x_{i}} 绝对收敛，那么期望值 E ⁡ ( X ) {displaystyle operatorname {E} (X)} 是一个无限数列的和。上面赌博的例子就是用这种方法求出期望值的。如果 X {displaystyle X} 是连续的随机变量，存在一个相应的概率密度函数 f ( x ) {displaystyle f(x)} ，若积分 ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x {displaystyle int _{-infty }^{infty }xf(x),mathrm {d} x} 绝对收敛，那么 X {displaystyle X} 的期望值可以计算为：是针对于连续的随机变量的，与离散随机变量的期望值的算法同出一辙，由于输出值是连续的，所以把求和改成了积分。在统计学中，估算变量的期望值时，经常用到的方法是重复测量此变量的值，再用所得数据的平均值来估计此变量的期望值。在概率分布中，期望值和方差或标准差是一种分布的重要特征。在古典力学中，物体重心的算法与期望值的算法十分近似。在赌博中，期望值又称预期值、长期效果值、合理价值、期待值，都能完全贴和，而其计算的方式为：期望值也可以通过方差计算公式来计算方差：