中心化子和正规化子

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

群论中，一个群的子集的中心化子和正规化子是的子群。它们分别在的元素和作为一个整体有受限制的作用。这些子群给出了关于的结构的有用信息。

群的一个元素的中心化子（记作()）是的和可交换的元素的集合；换句话说，C() = { 属于  : = }。若为的子群，则C() = C() ∩ 。如果没有歧义，则可以将C()记作C()。

更一般地，令为的任意子集（不必是子群）。则在中的中心化子定义为C() = {属于：对于所有属于, = }。若 = {}，则C() = C()。

C()是的子群；因为若 、 属于 C() ，则对每个属于 ，  −1 =  −1 =  −1。于是  −1 属于 C()。

群的中心是C()，通常记作Z()。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将的中心化子视作最大的（用包含关系为序）的子群，满足属于其中心Z()的条件。

一个相关的概念是，在中的正规化子，记作N()或者N()。正规化子定义为N() = {属于 : = }。同样的是，N()可以视作的子群。正规化子的名字来源于如果我们令<>为一个由生成的子群，则N()是最大的满足包含<>为其正规子群的的子群。<>在其中为正规子群的最小的的子群称为共轭闭包。

的子群称为的自正规化子群，如果N() = .

若是交换群，则任何的子集的中心化子和正规化子就是的全部；特别是，一个群可交换，当且仅当Z() = 。

若和是的任意元素，则在C()中，当且仅当在C()中，这有当且仅当和可交换。若 = {}则N() = C() = C()。

C()总是N()的正规子群：若属于C()而属于N()，我们要证明 −1属于C()。为此，取属于并令 =  −1。则属于，所以 = 。注意到 = ；以及 −1 =  −1。我们有

这也就是要证明的命题。

若是的子群，则表明因子群N()/C()同构于Aut()（的自同构群）的子群。

因为N() = ，N/C定理也意味着/Z()同构于Inn()（由所有的内自同构组成的Aut()的子群）。

如果我们通过()() = () =  −1定义群同态  : → Inn()，则我们可以用Inn("G")在上的群作用来表述N()和C()：在Inn()中的定点子群就是(N())，而Inn()中固定的子群就是（C()）。

若为有限群，考虑G共轭到自身的群作用，并应用轨道-稳定点定理，

G的核为${\displaystyle |\ker <!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}|=|Z(G)|}$

G的轨道为${\displaystyle |G\cdot <!--\; \cdot \; -->x_i|=|G:C_G(x_i)|}$

类方程：