降A大调31号钢琴奏鸣曲，作品110号是路德维希·范·贝多芬发表的第31首和倒数第二首钢琴奏鸣曲。他在1820至1822年共创作三首钢琴奏鸣曲，本作是第二首，于1821年创作，与作品109号和作品111号组成奏鸣曲集。贝多芬1820年接受委托，1821年下半年开始谱写作品110号，1822年初完成最终修订。作曲家忙于其他作品而且身体状况恶化，导致本作延误。原版1822年经施莱辛格旗下出版社在巴黎和柏林发行，没有附加说明，1823年穆齐奥·克莱门蒂发布英语版。
全曲分三个乐章。第一乐章为中板，以流畅且极富表现力的开场主题结合典型奏鸣曲式。第二乐章采快板，是简洁的诙谐曲，音乐学家马丁·库珀认为这段是以两首民歌和一首三重奏为基础创作。第三乐章由对比显著的多个部分组成：开头缓慢的宣叙调，接下来是“哀伤的咏叙调”、赋格，切回咏叙调，再奏响赋格形成雄浑的尾声。威廉·金德曼认为第三乐章的赋格与贝多芬许多晚期作品类似，如《迪亚贝利变奏曲》的小赋格和《庄严弥撒》部分桥段。阿道夫·伯恩哈德·马克思认为第三乐章赋格可比巴赫、亨德尔的同类作品。31号钢琴奏鸣曲赢得好评，是音乐分析的重要主题，唐纳德·托维、丹尼斯·马修斯、查尔斯·罗森均有研究著作面世。阿图尔·施纳贝尔、格连·古尔德、阿尔弗雷德·布伦德尔等钢琴家均有本作录音传世。
1819年夏，柏林音乐出版商阿道夫·马丁·施莱辛格派儿子莫里斯拜访贝多芬，希望达成商业合作。两人在默德灵碰面，贝多芬对莫里斯印象很好。经过几轮信件往来，老施莱辛格于1820年4月出价90达克特购买三首钢琴奏鸣曲，比贝多芬120达克特要价低两成五。贝多芬同年五月同意在三个月内交付，三首曲目便是他最后的钢琴奏鸣曲，作品109、110、111号。
贝多芬忙于创作《庄严弥撒》（作品123号）等曲目，1820年冬风湿发作，1821年夏又患上黄疸，这些因素导致他无法按期向施莱辛格氏交货。据巴里·库珀所述，作品110号是在1821年下半年“才开始成型”。施莱辛格公司1821年11月发布贝多芬作品109号，双方通信表明作品110号直到同年12月才写完。作曲家签名乐谱标注日期是1821年12月25日，贝多芬此后继续修订第三乐章，直到1822年初才完工。1822年1月贝多芬收到30杜克特报酬，估计誊写乐谱就在这章时间送交施莱辛格公司。
老施莱辛格1822年7月致信贝多芬，确认作品110和111号已在巴黎刻版，这年同时在巴黎和柏林发布，消息9月14日在《法国国家书目》公布。初版乐谱副本早在八月就送到维也纳，贝多芬新曲的消息在同月《维也纳日报》广而告之。作品110号出版时没有题辞，但有证据表明贝多芬一度打算把110和111号献给好友安东尼·布伦塔诺。1823年2月，贝多芬致信身在伦敦的作曲家费迪南德·里斯，称作品110和111号手稿已寄，请里斯在英国发布。信中还称伦敦市面已有的作品110号尚有不足，寄出的版本已经修订。穆齐奥·克莱门蒂接受里斯建议买下两首奏鸣曲的英国版权，同年在伦敦发布。
31号奏鸣曲全长19分钟，分三乐章，施莱辛格原版乐谱把第三乐章细分成柔板和赋格。阿尔弗雷德·布伦德尔指出，乐曲主题均源自六度音阶，即自然音阶前六个音符，穿插三度和四度音程分隔。曲中反向音程基本贯穿始终，在第二乐章特别明显。
每个乐章的主题均由大六度音阶小节起始，降A大调下中音F同样占据显著地位，是奏鸣曲第一小节最高音和第二乐章主音。右手声部以F音开始第二乐章三重奏桥段和第三乐章起始段落。
第一乐章为降A大调，节奏标识“富表现力的如歌中板”。丹尼斯·马修斯称该乐章采用“井然有序、不出预料的奏鸣曲式”；查尔斯·罗森认为乐章结构类似海顿。乐曲以“亲切 ”风格开头，经过属七和弦停顿后以“如歌的”主题展开。接下来转入三十二分音符轻琶音过渡。第二组主题以降E音符主导，包含倚音，低音部从降E逐阶降至G并重复三次，同时旋律音调走高六度。首轮主题段以十六分音符韵律主题收尾，乐曲随后进入发展部。
罗森认为第一乐章的发展部“极其简单”，其中多次重复第一主题，音高逐渐下降并以十六分音符为背景。唐纳德·托维认为发展部简洁而巧妙，可比帕德嫩神庙石柱卷杀。
第一乐章再现部遵循奏鸣曲式传统，随开场主题降A大调主音开始，作曲家把再现部与琶音过渡动机结合。“如歌的”主题以E大调次属音逐渐转调，马修斯与托维都认为E大调与降A大调差距很大，贝多芬如此选择可能是为便于转入降F大调。和弦很快回归降A大调主音，乐章尾声以主音韵律结束。
第二乐章是诙谐曲，节奏为“快板”，采F小调。马修斯认为乐章简洁精练，威廉·金德曼觉得乐章很风趣。曲调节奏复杂，包含大量切分音和不协调部分，托维认为这些不协调内容是作曲家有意为之。乐章各小节很短，重音频率是加沃特的两倍，所以不属加沃特，但这只是贝多芬刻意安排，他完全可以把第二乐章写成加沃特。
贝多芬以六音符渐低音阶动机开始第二乐意，用四节赋格搭配四节钢琴形成轮唱。马丁·库珀认为诙谐曲采用《我们的猫生下小猫》和《我是邋遢鬼，你也不例外》两首民歌动机，显现作曲家幽默曲风的粗放风格。托维认为上述推断未免太想当然，贝多芬在谱写31号奏鸣曲前就曾采用《我们的猫生下小猫》等民歌编排作品，用于支付某出版商数额微小的邮资，表明这些民歌对作曲家而言根本不重要。
三重奏采降D大调，将“骤变旋律”与“危机四伏的下降音阶”并置，平静结束后引出动机，重复诙谐曲段，第一次重复引出额外的徐缓曲段。低音部长时间只有时断时续的琶音，经过几次切分音和弦后以F大调（辟卡迪三度）收尾。
第三乐章由两段缓慢的咏叙调和两段快板赋格穿插而成。布伦德尔认为乐章分为六段：宣叙调、咏叙调、赋格、咏叙调、赋格转位、主音结尾。马丁·库珀称第三乐章由柔板和尾声两部分组成。
第二乐章诙谐曲以渐趋徐缓的F大调低音琶音收尾，第三乐章开头转成降b小调，表明乐章风格与幽默的诙谐曲不同。经过三小节前奏，乐曲转入流畅的宣叙调并多次变更节奏。接下来开始降a小调咏叙调，曲调哀挽，开头旋律与诙谐曲起始部类似，但托维认为不明显，基本可以忽略。咏叙调标为“哀歌”并有重复和弦支撑。金德曼、罗森等乐评人认为最初的宣叙调和咏叙调仿佛歌剧，布伦德尔称“哀歌”类似巴赫《约翰受难曲》咏叙调《结束了》。《新格罗夫音乐与音乐家辞典》指出，器乐作品极少以“咏叙调”形容，本作是少有的例外。
咏叙调接以三声赋格，主题由三段平行抬升的四度音阶组成，中间以两段逐渐降低的三度音阶分隔。赋格主题包含第一乐章开头的主题元素（降A－降D－降B－降E），马修斯认为第一乐章倒数第二小节中音部分就预示这段发展。赋格对题的间隔比主题间隔短小，金德曼声称这段赋格与贝多芬后来谱写的《迪亚贝利变奏曲》（作曲120号）中“小赋格”不无相似，而且和同期作品《庄严弥撒》选段《神羔》和《垂赐平安》类似。格连·古尔德认为31号奏鸣曲倾向“抒情，如田园诗般引人沉思”，他把第三乐章赋格与29号奏鸣曲充满暴力但严守规则、“展现贝多芬狂暴有力一面”的赋格对比。
降A大调属七和弦中断赋格，在第二次转调时和谐转为g小调和弦，再以g小调重复咏叙调，咏叙调的演奏注释为“筋疲力尽”。金德曼把哀歌中的“世俗痛苦”与赋格所含“慰藉和内向力量”对比，但托维认为这种对比还不足以得出结论。罗森认为主音采g小调令咏叙调与“筋疲力尽”意境相符，托维称第二段咏叙调时断时续的节奏仿佛“哭诉”。
咏叙调以逐渐增强的G大调和弦结束，随后重复诙谐曲尾声小调到大调的突然转变。第一次转调的主题伴随第二段赋格呈现，演奏标识“再度复苏”，即“一点点逐渐恢复活力”。布伦德尔认为这段曲调颇显虚幻。部分版本演出指导强调曲段应注意“一点点逐渐”，要求演奏时先采用弱音踏板，令琴音偏小。最终赋格采用G大调，力度和音量逐渐增强。三声部全部加入后，低音部分奏响第一段赋格主题，但音高、音量减小，持续时间缩短，长音切换成连续的短音，重音也已变化。高音加入相同主题但音高、音量提升，持续时间延长并保持长音和重音。低音部最终切入增强的c小调赋格主题，以降E音收尾。演奏指导要求演奏低音部主题时逐渐松开弱音踏板。作曲家接下来放开节奏要求，演奏标识“不太快的快板”，开始双重减弱且有删减的赋格主题。托维称第一段赋格及对位段的背景动机仿佛“火焰”，随后对位段特征消失。布伦德尔指出，曲目接下来进入最后一节，仿佛摆脱对复音音乐的限制。托维把乐章终段称为“总结”，兴高采烈的风格尽显。乐章尾声是四小节主音琶音及最后一次凸显降A大调和弦。
马修斯认为，第三乐章第二段赋格很容易让人产生“大病或绝望后恢复信心”的感受，贝多芬晚期的其他作品也有类似主题，布伦德尔用这段赋格同《贝多芬13号弦乐四重奏》的短抒情曲对比。马丁·库珀认为尾声“激情四射”，“英雄气息十足”，而且经过咏叙调的哀挽、赋格的“光明真理”洗礼，这样的尾声丝毫不会显得格格不入。罗森指出，第三乐章开创音乐史新篇章，把对位法和赋格等学术手段融入音乐戏剧结构；在他看来，贝多芬不单是用本作象征或代表生命回归，而且令听众产生真切感受。
贝多芬从19世纪10年代起已赢得同代乐评人普遍认可，大部分作品一经发布就广受赞誉。1822年10月的匿名评论赞扬31号奏鸣曲“品质超凡”，反复向作曲家致谢。1824年《音乐广讯报》发表作品109至111号奏鸣曲集的匿名评论，称反对贝多芬作品的声浪即便偶尔响起也转瞬即逝。文中还称，贝多芬的艺术作品往往一经问世便青史留名。
阿道夫·伯恩哈德·马克思1824年3月发文称赞31号钢琴奏鸣曲，特别是第三乐章的赋格，值得与巴赫、亨德尔最深刻的作品放在一起研究。安东·辛德勒1860年为贝多芬立传，称这段赋格“不难演奏，但却充满魅力与美感”。金德曼也有类似看法，称赞赋格主题如精心锤炼的习语般令人赞叹。
1909年赫尔曼·韦泽尔撰文指出，31号奏鸣曲“没有任何多余音符，没有任何段落……能随意打发，没有任何琐碎摆设”。马丁·库珀1970年称，贝多芬最后五首钢琴奏鸣曲以作品110号最常奏响。
乔纳森·比斯2020年举办贝多芬作品109至111号奏鸣曲虚拟音乐会，节目说明指出，贝多芬的另外31首钢琴奏鸣曲都不及作品110号情感丰富，从彻底绝望转变到极度振奋……作品表达如此丰富的情感，内容又如此紧凑，简直让人不敢相信，开头的哲学理念足以充当作品主旨，渗入乐曲每个瞬间，在最后达到顶峰。
1932年1月21日，阿图尔·施纳贝尔在伦敦阿比路录音室录制作品110号奏鸣曲，与其他曲目组成史上第一套贝多芬钢琴奏鸣曲完整录音，作品110号还是全套录音的第一首。《新格罗夫音乐与音乐家辞典》指出，迈拉·赫斯1953年的本作录音品质在她生平录音名列前茅。古尔德1956年录制贝多芬最后三首钢琴奏鸣曲，他还在1963年3月4日的广播探讨并演奏作品110号第三乐章。其他包含本作的贝多芬钢琴奏鸣曲合集包括：威廉·肯普夫1951年录音，克劳迪奥·阿劳1965年录音，布伦德尔1973年录音，毛里齐奥·波利尼1975年录音，丹尼尔·巴伦博伊姆1984年录音，伊戈尔·勒维特2019年录音。
