根系

在数学中，根系是欧几里得空间中满足某些公理的向量配置。根系在李群、李代数与代数群理论中格外重要；而根系分类的主要工具──邓肯图，也见诸奇异性理论等与李群并无显著关系的学科。

设 ${\displaystyle V}$ = (α ∈ Z7 ∪ (Z+½)7: ∑α_i2 + α₁2 = 2，∑α_i + α₁ ∈ 2Z),

E = (α ∈ Z6 ∪ (Z+½)6: ∑α_i2 + 2α₁2 = 2，∑α_i + 2α₁ ∈ 2Z)

对于 ${\displaystyle F_4}$，取 ${\displaystyle V={\mathbb{R}}^4}$，并令 ${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$ 为满足下述条件的向量：

此根系有 ${\displaystyle 48}$ 个根。通常取单根为 ${\displaystyle B_3}$ 的单根再加上 ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_4=-<!--\; -\; -->(\underset{i=1}{\overset{4}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}_i)/2}$。

${\displaystyle G_2}$ 有 12 个根，构成一个六边形的顶点，详如秩二的例子一节所示。通常取单根为

在此沿用了之前的符号： ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i:=e_i-<!--\; -\; -->e_{i+1},(i=1,2)}$。

不可约根系的分类可用于研究下述对象：