根系

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:06:16 #李群,李代数

在数学中,根系是欧几里得空间中满足某些公理的向量配置。根系在李群、李代数与代数群理论中格外重要;而根系分类的主要工具──邓肯图,也见诸奇异性理论等与李群并无显著关系的学科。

V {\displaystyle V} = (α ∈ Z7 ∪ (Z+½)7: ∑αi2 + α12 = 2,∑αi + α1 ∈ 2Z),

E = (α ∈ Z6 ∪ (Z+½)6: ∑αi2 + 2α12 = 2,∑αi + 2α1 ∈ 2Z)

对于 F 4 {\displaystyle F_{4}} ,取 V = R 4 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{4}} ,并令 Φ {\displaystyle \Phi } 为满足下述条件的向量:

此根系有 48 {\displaystyle 48} 个根。通常取单根为 B 3 {\displaystyle B_{3}} 的单根再加上 α 4 = ( i = 1 4 e i ) / 2 {\displaystyle \alpha _{4}=-(\sum _{i=1}^{4}e_{i})/2}

G 2 {\displaystyle G_{2}} 有 12 个根,构成一个六边形的顶点,详如秩二的例子一节所示。通常取单根为

在此沿用了之前的符号: α i := e i e i + 1 , ( i = 1 , 2 ) {\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1},\;(i=1,2)}

不可约根系的分类可用于研究下述对象:

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