拉格朗日点

拉格朗日点（Lagrangian point）又称平动点（libration points）在天体力学中是限制性三体问题的五个特殊解（particular solution）。就平面圆型三体问题，1767年数学家欧拉根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）为L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日推算出另外两个点（特解）为L4、L5。例如，两个天体环绕运行，在空间中有五个位置可以放入第三个物体（质量忽略不计），使其与另两个天体的相对位置保持不变。理想状态下，两个同轨道物体以相同的周期旋转，两个天体的万有引力在拉格朗日点平衡，使得第三个物体与前两个物体相对静止。五个拉格朗日点之定义及位置如下：在M1和M2两个大天体的连线上，且在它们之间。其中：r 表示 L1 与较小的物体之间的距离，R 表示两个主要物体之间的距离，M1 和 M2 分别表示较大物体和较小物体的质量。求解 r 需要求解五次方程，但是当小物体的质量（M2）远小于大物体的质量（M1）时，L1和L2近似于希尔球的半径，求解如下：例如一个围绕太阳旋转的物体，它距太阳的距离越近，它的轨道周期就越短。但是这忽略地球的万有引力对其产生的拉力的影响。如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力，因此增加这个物体的轨道周期。物体距地球越近，这种影响就越大。在L1点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。太阳及日光层探测仪（SOHO）即在日-地系统的L1点上运行。在两个大天体的连线上，且在较小的天体一侧。同样的，当小物体的质量（M2）远小于大物体的质量（M1）时：日地系统的L2在地球远离太阳的一侧。一般来讲，一个物体距太阳的距离越远，它的轨道周期通常就越长，但L2点上的物体还受到地球的引力，所以轨道周期变得与地球的相等。日地系统的L2通常用于放置空间天文台。因为L2上的物体可以保持背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。威尔金森微波各向异性探测器已经在日-地系统的L2点上运行。詹姆斯韦伯太空望远镜将要被放置在日-地系统的L2点上。嫦娥二号北京时间2011年8月25日23时27分，经过77天的飞行，“嫦娥二号”在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确进入距离地球约150万公里远的、太阳与地球引力平衡点——拉格朗日L2点的环绕轨道。地月系统的L2在月球远离地球的一侧（月球背面）。2014年中国探月工程三期再入返回飞行试验器服务舱曾进入环绕地月L2点的李萨如轨道开展试验。服务舱实现了环绕地月L2点飞行三圈，验证了轨道设计、轨道控制和轨道维持技术。在两个大天体的连线上，且在较大的天体一侧。一些科幻小说和漫画会在L3点创造一个“反地球”。在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方。此点稳定的原因在于，它到两大物体的距离相等，其对两物体分别的引力之比，正好等于两大物体的质量之比。因此，两个引力的合力正好指向该系统的质心，合力大小正好提供该物体公转所需之向心力，使其旋转周期与质量较小天体相同并达成轨道平衡。该系统中，两大物体和L4点上物体围绕质心旋转，旋转中心与质心重合。事实上，L4和L5点上的物体的质量不须小到可忽略。L4和L5点处，小物体受太阳和地球的引力的合力指向日地共同质心且大小正合适。在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的后方。L4和L5有时称为三角拉格朗日点或特洛伊点。科幻作品（如漫画、小说）所说的用于放置殖民卫星的拉格朗日点特指L4和L5，不包括L1和L2。实质上是三个物体围绕共同质心转动。严格而言，首先拉格朗日点只算是二星体连线之法平面内的稳定点，而在三维空间内则不稳定：考虑L1：若垂直于中线地推移测试质点，则有一力将其推回平衡点（稳定平衡）；但若测试质点漂向任一星体，则该星体之引力会将其拉向自己（不稳定平衡）。L1、L2和L3点在这条直线上不稳定，如果把物体放在这上面的话，它马上会离开这个点。所以，有一种轨道的设计就是，它是围绕L2点做周期运动（Halo orbit（英语：Halo orbit）），这样的话，我们的卫星只需少量调节便能维持其轨道。此对比：若M1比M2大于24.96，则处于L4与L5的物体是稳定平衡：当一测试质点偏离此平衡点，则科里奥利力会将其轨道扭曲成（相对于旋转座标之）扁豆状。太阳－木星系统有几千枚小行星，通称为“特洛伊小行星”，俱划此等轨迹。太阳－火星、太阳－土星、木星－木卫、土星－土卫等系统亦有类似星体。日－地系统中亦有 2010 TK7（第一颗地球特洛伊小行星），在二十世纪五十年代发现尘雾围绕L4与L5。在地－月系统之L4与L5点亦发现比对日照更微弱之尘雾。地球的伴星（companion object）克鲁特尼以类似特洛伊之轨道“围绕”地球，但不是真正的特洛伊卫星，它基本上以一周期略小于一年之椭圆轨道环绕太阳，接近地球时从地球公转提取动能而进入较高之轨道。当克鲁特尼被地球追上，则会交回此动能，跌落低能轨道，重新开始循环。土卫十一（Epimetheus）与土卫十（Janus）有类似关系，唯因其质量相若，故周期性地互换轨道。另一类似位形为轨道共振，其中各星体之周期，因其相互作用，成简单整数比。土卫三（Tethys）的L4和L5点有两个小卫星，土卫十三（Telesto）和土卫十四（Calypso）。土卫四（Dione）的L4点有一个卫星土卫十二（Helene）。